Сторінка 140

Розв’язання

1. а) Виділимо спільний множник $xy(x+y)$ у другому рівнянні: $xy(xy+x+y)=30$. З першого рівняння маємо $xy+x+y=11$. Підставимо це значення: $xy\cdot 11=30$, звідки $xy=\frac{30}{11}$. Це не ціле число, перевіримо розкладання.
   Правильний підхід: Розкладемо друге рівняння як $xy(x+y)+x{y}^2+x^{2}y$ — ні, краще так: $x(xy+y)+y(xy+x)$? Ні.
   Правильний шлях: $x^{2}y+y^{2}x=xy(x+y)$. З першого рівняння $xy+x+y=11\Rightarrow x+y=11-xy$. Підставимо у друге: $xy(11-xy)=30$. Нехай $t=xy$. Тоді $11t-t^2=30\Rightarrow t^2-11t+30=0$.
   Корені: $t_1=5,t_2=6$.
   Якщо $xy=5$, то $x+y=11-5=6$. Розв'язуємо систему $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ xy=5\end{array}$. Корені рівняння $z^2-6z+5=0$: $z_1=1,z_2=5$. Відповідь: $(1;5),(5;1)$.
   Якщо $xy=6$, то $x+y=11-6=5$. Розв'язуємо систему $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$. Корені рівняння $z^2-5z+6=0$: $z_1=2,z_2=3$. Відповідь: $(2;3),(3;2)$.

2. б) Введемо заміну $u=x+y$ і $v=x-y$. Система набуває вигляду $\{\begin{array}{l}{u}^2-4u=45,\\ v^2-2u=7.\end{array}$
   З першого рівняння: $u^2-4u-45=0$. Дискримінант $D=16+180=196$, $\sqrt{D}=14$. $u_1=\frac{4+14}{2}=9,u_2=\frac{4-14}{2}=-5$.
   Знайдемо $v$ для кожного $u$:
   Якщо $u=9$, то $v^2-18=7\Rightarrow v^2=25\Rightarrow v=\pm 5$.
   Якщо $u=-5$, то $v^2+10=7\Rightarrow v^2=-3$ (немає дійсних розв'язків).
   Отже, маємо пари $(x+y;x-y)$: $(9;5)$ та $(9;-5)$.
   Для $(9;5)$: $2x=14\Rightarrow x=7,2y=4\Rightarrow y=2$. Розв'язок $(7;2)$.
   Для $(9;-5)$: $2x=4\Rightarrow x=2,2y=14\Rightarrow y=7$. Розв'язок $(2;7)$.

3. в) Піднесемо обидва рівняння до кубічного кореня (або просто візьмемо корінь): $\sqrt[3]{x^3{y}^3}=\sqrt[3]{27}\Rightarrow xy=3$.
   З другого рівняння маємо $x^3-y^3=26$. Використовуємо формулу розкладання різниці кубів: $(x-y)(x^2+xy+y^2)=26$.
   Оскільки $xy=3$, то $x^2+3+y^2=(x+y{)}^2-2xy=(x+y{)}^2-6$.
   Але краще ввести $u=x,v=y$ або розглянути як систему. Спробуємо підставити $y=3/x$ у друге рівняння: $x^3-\frac{27}{x^3}=26$. Нехай $z=x^3$. $z-\frac{27}{z}=26\Rightarrow z^2-26z-27=0$.
   $(z-27)(z+1)=0$. $z_1=27,z_2=-1$.
   Якщо $x^3=27$, то $x=3$. Тоді $y=3/3=1$. Перевірка: $3^3-1^3=27-1=26$. Правильно. Розв'язок $(3;1)$.
   Якщо $x^3=-1$, то $x=-1$. Тоді $y=3/(-1)=-3$. Перевірка: $(-1{)}^3-(-3{)}^3=-1-(-27)=26$. Правильно. Розв'язок $(-1;-3)$.

4. г) Піднесемо перше рівняння до квадрата: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2=25\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=25$.
   З другого рівняння $\sqrt{xy}=6\Rightarrow xy=36$. Підставимо у перше: $x+y+12=25\Rightarrow x+y=13$.
   Розв'язуємо систему $\{\begin{array}{l}x+y=13\\ xy=36\end{array}$. Корені рівняння $z^2-13z+36=0$: $D=169-144=25,z_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$.
   $z_1=9,z_2=4$. Відповідь: $(9;4),(4;9)$.

Розв’язання

1. Пункт а): Маємо систему $\{\begin{array}{l}3a+4b=8\\ 8ab=8\end{array}$. З другого рівняння дізнаємось, що $ab=1$, звідки $b=\frac{1}{a}$. Підставимо це в перше рівняння: $3a+4\left(\frac{1}{a}\right)=8$. Помножимо на $a$: $3a^2+4=8a$, отже $3a^2-8a+4=0$. Корені: $D=64-48=16$, $a_1=\frac{8-4}{6}=\frac{2}{3}$, $a_2=\frac{8+4}{6}=2$. Знаходимо відповідні $b$: якщо $a=\frac{2}{3}$, то $b=\frac{3}{2}$; якщо $a=2$, то $b=\frac{1}{2}$.

2. Пункт б): Маємо систему $\{\begin{array}{l}{a}^2+ab-5=10\\ b^2+ab=10\end{array}$. Скорочуємо $ab$ у обох рівняннях: $\{\begin{array}{l}{a}^2-5=10\\ b^2=10\end{array}$. Отже, $a^2=15$, $b^2=15$. Розв'язки: $a=\pm \sqrt{15}$, $b=\pm \sqrt{15}$. Перевірка підстановкою в початкове рівняння показує, що знаки мають бути однаковими ($ab>0$).

3. Пункт в): Маємо систему $\{\begin{array}{l}{a}^2+b-2a=-1\\ a+b=-1\end{array}$. З другого рівняння $b=-1-a$. Підставимо в перше: $a^2+(-1-a)-2a=-1$, тобто $a^2-3a=0$. Корені: $a(a-3)=0\Rightarrow a_1=0,a_2=3$. Знаходимо $b$: якщо $a=0$, то $b=-1$; якщо $a=3$, то $b=-4$.

Розв’язання

1. Пункт а): Система $\{\begin{array}{l}{a}^2-0,5b=1\\ a-b=1\end{array}$. З другого рівняння $b=a-1$. Підставимо в перше: $a^2-0,5(a-1)=1\Rightarrow a^2-0,5a+0,5=1\Rightarrow a^2-0,5a-0,5=0$. Помножимо на 2: $2a^2-a-1=0$. Корені: $D=1+8=9$, $a_1=\frac{1-3}{4}=-0,5$, $a_2=\frac{1+3}{4}=1$. Знаходимо $b$: якщо $a=-0,5$, то $b=-1,5$; якщо $a=1$, то $b=0$.

2. Пункт б): Система $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-6b=0\\ 2a+b=0\end{array}$. З другого рівняння $b=-2a$. Підставимо в перше: $a^2+(-2a{)}^2-6(-2a)=0\Rightarrow a^2+4a^2+12a=0\Rightarrow 5a^2+12a=0$. Корені: $a(a+2,4)=0\Rightarrow a_1=0$, $a_2=-2,4$. Знаходимо $b$: якщо $a=0$, то $b=0$; якщо $a=-2,4$, то $b=4,8$.

3. Пункт в): Система $\{\begin{array}{l}3(a-2)(b+1)=3\\ a-b=3\end{array}$. Скорочуємо перше на 3: $(a-2)(b+1)=1$. Розкриваємо дужки: $ab+a-2b-2=1\Rightarrow ab+a-2b=3$. Маємо систему $\{\begin{array}{l}ab+a-2b=3\\ b=a-3\end{array}$. Підставимо $b$: $a(a-3)+a-2(a-3)=3\Rightarrow a^2-3a+a-2a+6=3\Rightarrow a^2-4a+3=0$. Корені: $a_1=1$, $a_2=3$. Знаходимо $b$: якщо $a=1$, то $b=-2$; якщо $a=3$, то $b=0$.

Розв’язання

1. Пункт а): Система $\{\begin{array}{l}x-y=7\\ x^2+y^2=169\end{array}$. З першого рівняння $x=y+7$. Підставимо у друге: $(y+7{)}^2+y^2=169\Rightarrow y^2+14y+49+y^2=169\Rightarrow 2y^2+14y-120=0$. Ділимо на 2: $y^2+7y-60=0$. Корені: $D=49+240=289$, $\sqrt{D}=17$. $y_1=\frac{-7-17}{2}=-12$, $y_2=\frac{-7+17}{2}=5$. Знаходимо $x$: якщо $y=-12$, то $x=-5$; якщо $y=5$, то $x=12$. Точки перетину: $(-5;-12)$ і $(12;5)$. Відстань за формулою: $\sqrt{(12-(-5){)}^2+(5-(-12){)}^2}=\sqrt{17^2+17^2}=17\sqrt{2}$.

2. Пункт б): Система $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ (x-4{)}^2+(y-4{)}^2=1\end{array}$. Розкриємо дужки у другому рівнянні: $x^2-8x+16+y^2-8y+16=1$. Підставимо $x^2+y^2=25$: $25-8x-8y+32=1\Rightarrow -8x-8y=-56\Rightarrow x+y=7$. Маємо систему $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x+y=7\end{array}$. З другого $y=7-x$. Підставимо: $x^2+(7-x{)}^2=25\Rightarrow x^2+49-14x+x^2=25\Rightarrow 2x^2-14x+24=0\Rightarrow x^2-7x+12=0$. Корені: $x_1=3,x_2=4$. Знаходимо $y$: якщо $x=3$, то $y=4$; якщо $x=4$, то $y=3$. Точки перетину: $(3;4)$ і $(4;3)$. Відстань: $\sqrt{(4-3{)}^2+(3-4{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.

Розв’язання

1. Розглянемо підпункт а). Перепишемо систему як $\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-x\end{array}$ для $x\ge 0$ та $\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=a-x^2\end{array}$ для $x<0$.

2. Знайдемо точки перетину прямої $y=x$ з параболою $y=a-x^2$: $x=a-x^2\Rightarrow x^2+x-a=0$. Дискримінант $D_1=1+4a$.

3. Знайдемо точки перетину прямої $y=-x$ з параболою $y=a-x^2$: $-x=a-x^2\Rightarrow x^2-x-a=0$. Дискримінант $D_2=1+4a$.

Розв’язання

1. Розглянемо підпункт а). Система $\{\begin{array}{l}y=-|x|\\ y=x^2+a\end{array}$ має розв'язки, якщо $-|x|=x^2+a$.

2. Оскільки $y\le 0$, парабола $y=x^2+a$ повинна мати точки з від'ємними ординатами, тобто $a<0$.

3. Розв'язуємо рівняння $x^2+|x|+a=0$ заміною $t=|x|$ ($t\ge 0$): $t^2+t+a=0$. Дискримінант $D=1-4a$.

Розв’язання

1. Запишемо рівняння прямої у загальному вигляді: $x-y+a=0$.

2. Відстань $d$ від точки $(0,0)$ до прямої дорівнює $\frac{|0-0+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$.

3. Для двох точок перетину необхідно $d<R$, тобто $\frac{|a|}{\sqrt{2}}<1\Rightarrow |a|<\sqrt{2}$. Оскільки $\sqrt{2}\approx 1,414$, маємо $-1,414<a<1,414$.