Сторінка 139

Розв’язання

1. Віднімемо друге рівняння від першого: $(x-\frac{3}{y})-(x+\frac{1}{y})=3-11\Rightarrow -\frac{4}{y}=-8\Rightarrow y=\frac{1}{2}$.

2. Підставимо $y=0,5$ у друге рівняння: $x+\frac{1}{0,5}=11\Rightarrow x+2=11\Rightarrow x=9$.

3. Знаходимо суму: $x_0+y_0=9+0,5=9,5$.

Розв’язання

1. Додамо рівняння: $(x^2-y^2)+(x^2+y^2)=-4+4\Rightarrow 2x^2=0\Rightarrow x=0$.

2. Підставимо $x=0$ у друге рівняння: $0+y^2=4\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm 2$.

3. Отримуємо два розв'язки: $(0;2)$ та $(0;-2)$.

Розв’язання

1. Для пункту а): Введемо заміну $t=x-y$. Тоді система набуває вигляду $\{\begin{array}{l}x+y=12,\\ xy=4,5t\end{array}$ і $\{\begin{array}{l}x-y=t.\end{array}$.

2. Знайдемо $x$ та $y$ як корені квадратного рівняння $z^2-(x+y)z+xy=0$, тобто $z^2-12z+4,5t=0$.

3. Також маємо $x-y=t$. Підставимо $y=x-t$ у перше рівняння: $2x-t=12\Rightarrow x=\frac{12+t}{2},y=\frac{12-t}{2}$.

4. Підставимо вирази для $x,y$ у друге рівняння: $\frac{\frac{12+t}{2}\cdot \frac{12-t}{2}}{t}=4,5\Rightarrow \frac{144-t^2}{4t}=4,5\Rightarrow 144-t^2=18t\Rightarrow t^2+18t-144=0$.

5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $D=324+576=900$, $\sqrt{D}=30$. Корені: $t_1=\frac{-18+30}{2}=6$, $t_2=\frac{-18-30}{2}=-24$.

6. Знаходимо відповідні пари $(x,y)$:
   Якщо $t=6$: $x=\frac{18}{2}=9,y=\frac{6}{2}=3$. Перевірка: $xy=27$, $\frac{27}{6}=4,5$ — правильно.
   Якщо $t=-24$: $x=\frac{-12}{2}=-6,y=\frac{-36}{2}=-18$. Перевірка: $xy=108$, $\frac{108}{-24}=-4,5\ne 4,5$ — не підходить (знак мінус у знаменнику).
   Примітка: У умові дріб $\frac{xy}{x-y}=4\frac{1}{2}$ позитивний. Якщо $t=-24$, то $x-y=-24$ (від'ємне), а $xy=108$ (додатнє). Дріб буде від'ємним. Отже, тільки один розв'язок.

7. Для пункту б): Введемо заміну $u=\frac{x}{y}+10$. Тоді $\frac{y}{x}+10=\frac{1}{u-10}+10$? Ні, простіше: нехай $a=\frac{x}{y}$, тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{a}$. Система: $x+y=10$, $(a+10)(\frac{1}{a}+10)=122\frac{2}{3}$.

8. Розкриваємо дужки: $1+100a+\frac{10}{a}+100=122\frac{2}{3}\Rightarrow 100(a+\frac{1}{a})=22\frac{2}{3}-1=21\frac{2}{3}$.

9. Нехай $k=a+\frac{1}{a}$. Тоді $100k=\frac{67}{3}\Rightarrow k=\frac{67}{300}$. Це мале число, але $a+\frac{1}{a}$ для дійсних $a$ має бути $\ge 2$ або $\le -2$. Тут $k<2$, отже дійсних розв'язків немає.
   Перевірка обчислень: $122\frac{2}{3}=\frac{368}{3}$. $1+100(a+\frac{1}{a})=\frac{368}{3}\Rightarrow 100(a+\frac{1}{a})=\frac{365}{3}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{365}{300}=\frac{73}{60}\approx 1,2$. Оскільки $x+y=10$, то $x,y$ додатні (якщо один від'ємний, інший більший за модуль, але добуток може бути від'ємним). Якщо $a+\frac{1}{a}<2$, дійсних $a$ немає.
   Отже, розв'язків немає.

Розв’язання

1. Для пункту а): З другого рівняння $x^2=4xy$. Якщо $x\ne 0$, то $x=4y$. Підставимо в перше: $4y+y=10\Rightarrow 5y=10\Rightarrow y=2$. Тоді $x=8$. Перевірка: $8^2=64,4\cdot 8\cdot 2=64$ — підходить. Якщо $x=0$, то з першого рівняння $y=10$, але $0=0$ (справджується), отже $(0;10)$ також розв'язок? Перевіримо друге: $0^2=4\cdot 0\cdot 10\Rightarrow 0=0$. Так, це розв'язок.

2. Для пункту б): Введемо заміну $k=\frac{x}{y}$. Тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{k}$. Рівняння: $k+\frac{1}{k}=2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$.

3. Помножимо на $6k$: $6k^2+6=13k\Rightarrow 6k^2-13k+6=0$.

4. Дискримінант: $D=169-144=25$, $\sqrt{D}=5$. Корені: $k_1=\frac{13+5}{12}=\frac{18}{12}=1,5=\frac{3}{2}$, $k_2=\frac{13-5}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

5. Знаходимо пари $(x,y)$:
   Якщо $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=1,5y$. Підставимо в $x+y=10$: $2,5y=10\Rightarrow y=4,x=6$.
   Якщо $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}y$. Підставимо: $\frac{5}{3}y=10\Rightarrow y=6,x=4$.

Розв’язання

1. а) Помітимо, що $x+y=\frac{-19-2xy}{5}$. Підставимо це у друге рівняння або поділимо рівняння один на один (під умовою $x+y\ne 0$).
   Спростимо систему: $\{\begin{array}{l}5(x+y)+2xy=-19\\ x+y+3xy=-35\end{array}$.
   Виразимо $x+y$ з другого рівняння: $x+y=-35-3xy$. Підставимо у перше: $5(-35-3xy)+2xy=-19\Rightarrow -175-15xy+2xy=-19\Rightarrow -13xy=156\Rightarrow xy=-12$.
   Тоді $x+y=-35-3(-12)=-35+36=1$.
   Розв'язуємо квадратне рівняння: $z^2-z-12=0\Rightarrow D=1+48=49,z_1=4,z_2=-3$.