Сторінка 138

Розв’язання

1. Розв'язуємо систему а):
   З другого рівняння виразимо $x$: $x=3y+2$.
   Підставимо у перше рівняння: $y=\sqrt{3y+2-4}\Rightarrow y=\sqrt{3y-2}$.
   Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи, що $y\ge 0$): $y^2=3y-2\Rightarrow y^2-3y+2=0$.
   Знайдемо корені: $(y-1)(y-2)=0$, отже $y_1=1,y_2=2$.
   Знайдемо відповідні значення $x$:
   Якщо $y=1$, то $x=3(1)+2=5$. Перевірка: $\sqrt{5-4}=1$ (підходить).
   Якщо $y=2$, то $x=3(2)+2=8$. Перевірка: $\sqrt{8-4}=2$ (підходить).

2. Розв'язуємо систему б):
   Прирівняємо праві частини рівнянь: $2+2x-x^2=2-|x|$.
   Спростимо: $2x-x^2=-|x|\Rightarrow x^2-2x-|x|=0$.
   Розглянемо випадок $x\ge 0$ (тоді $|x|=x$): $x^2-2x-x=0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0$.
   Корені: $x_1=0,x_2=3$. Знайдемо $y$: для $x=0,y=2$; для $x=3,y=2+6-9=-1$.
   Розглянемо випадок $x<0$ (тоді $|x|=-x$): $x^2-2x-(-x)=0\Rightarrow x^2-x=0\Rightarrow x(x-1)=0$.
   Корені: $x=0$ (не підходить, бо $x<0$), $x=1$ (не підходить). Отже, розв'язків у цьому випадку немає.

Розв’язання

1. Аналізуємо систему а):
   Рівняння $x^2+y^2=4$ описує коло з центром у початку координат і радіусом $R=2$.
   Рівняння $|x|-y=0$ еквівалентне $y=|x|$, що є графіком двох променів: $y=x$ ($x\ge 0$) та $y=-x$ ($x<0$).
   Прямі $y=\pm x$ перетинають коло у чотирьох точках.

2. Аналізуємо систему б):
   Рівняння $y=x^2+2x$ описує параболу з вершиною в точці $(-1;-1)$, що проходить через початок координат $(0;0)$.
   Рівняння $y=\sqrt{x+3}$ визначає гілку гіперболи, яка починається від точки $(-3;0)$ і йде вгору.
   Парабола та ця гілка перетинаються у двох точках (одна точка лежить на відрізку $x\in [-3;-1]$, інша — при $x>-1$).

Розв’язання

1. Розв'язуємо систему а):
   З другого рівняння $y=|x+2|$. Підставимо у перше: $|x+2|=1-2x-x^2$.
   Розглянемо випадок $x\ge -2$ (тоді $|x+2|=x+2$): $x+2=1-2x-x^2\Rightarrow x^2+3x+1=0$.
   Дискримінант $D=9-4=5$, корені $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$. Обидва корені більші за $-2$ (оскільки $\sqrt{5}\approx 2.2$, тобто $-3+2.2=-0.8>-2$).
   Знайдемо $y$: $y=x+2$.
   Розглянемо випадок $x<-2$ (тоді $|x+2|=-(x+2)$): $-(x+2)=1-2x-x^2\Rightarrow -x-2=1-2x-x^2\Rightarrow x^2+x-3=0$.
   Корені $x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$. $\sqrt{13}\approx 3.6$, отже $-1-3.6=-4.6<-2$ (підходить), а $-1+3.6>-2$ (не підходить).

2. Розв'язуємо систему б):
   Додамо рівняння після множення другого на 2: $x^2+y^2=9$ та $2xy=6$. Це не допомагає напряму.
   Спробуємо підстановку: $y=\frac{3}{x}$. Підставимо у перше: $x^2+\frac{9}{x^2}=9$.
   Помножимо на $x^2$: $x^4-9x^2+9=0$. Нехай $t=x^2$, тоді $t^2-9t+9=0$.
   Корені $t=\frac{9\pm \sqrt{81-36}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{45}}{2}=\frac{9\pm 3\sqrt{5}}{2}$.
   Оскільки $t=x^2\ge 0$, обидва корені підходять. Звідси знайдемо $x$ і $y$.