Сторінка 137

Розв’язання

1. а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^2+y^2+x-3y)-(x^2-y^2+x+3y)=6-(-2)$, що дає $2y^2-6y=8$, або $y^2-3y-4=0$. Корені: $y_1=4,y_2=-1$.
   Підставимо $y=4$ у перше рівняння: $x^2+16+x-12=6\Rightarrow x^2+x-2=0$, звідки $x_1=1,x_2=-2$.
   Підставимо $y=-1$ у перше рівняння: $x^2+1-x+3=6\Rightarrow x^2-x-2=0$, звідки $x_3=2,x_4=-1$.
   Розв'язок системи а): $(1;4),(-2;4),(2;-1),(-1;-1)$.

2. б) Друге рівняння є тотожністю першого ($x^2+y^2=8$), тому розглянемо систему $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10,\\ x^2-y^2=8\end{array}$. Додамо рівняння: $2x^2=18\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$.
   Знайдемо $y$: якщо $x=3$, то $9+y^2=10\Rightarrow y=\pm 1$; якщо $x=-3$, то $9+y^2=10\Rightarrow y=\pm 1$.
   Розв'язок системи б): $(3;1),(3;-1),(-3;1),(-3;-1)$.

3. в) Складемо рівняння для $y$: з першого $y(y-x)=6$, з другого $y(3y+4x)=-17$. Зручніше виразити $xy$ з першого: $xy=y^2-6$. Підставимо у друге: $3y^2+4(y^2-6)=-17\Rightarrow 7y^2-24=-17\Rightarrow 7y^2=7\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$.
   Якщо $y=1$, то $x=y^2-6/y=(1-6)/1=-5$. Перевірка: $(-5{)}^2+1^2=26\ne 6$ (ошибка в підстановці, краще підставити у перше рівняння).
   Правильно: з $y^2-xy=6\Rightarrow xy=y^2-6$. Підставляємо у друге: $3y^2+4(y^2-6)=-17\Rightarrow 7y^2=7\Rightarrow y=\pm 1$.
   При $y=1$: $x=(1-6)/1=-5$. Перевірка у першому: $1-(-5)=6$ — так. У другому: $3(1)+4(-5)=3-20=-17$ — так.
   При $y=-1$: $x=(1-6)/(-1)=5$. Перевірка у першому: $1-5(-1)=6$ — так. У другому: $3(1)+4(-5)=-17$ — так.
   Розв'язок системи в): $(-5;1),(5;-1)$.

Розв’язання

1. а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x+y)-(x-y)=5xy-xy\Rightarrow 2y=4xy$. Якщо $y=0$, то $x=0$ (не підходить, бо $0=0$). При $y\ne 0$: $1=2x\Rightarrow x=0,5$. Підставимо у перше: $0,5+y=2,5y\Rightarrow 2,5y-y=0,5\Rightarrow 1,5y=0,5\Rightarrow y=1/3$. Перевірка: $x-y=1/2-1/3=1/6$, $xy=1/6$ — підходить.
   Розв'язок а): $(0,5;1/3)$.

2. б) Додамо рівняння: $x^2+y^2-2xy=1\Rightarrow (x-y{)}^2=1\Rightarrow x-y=\pm 1$.
   Віднімемо друге від першого: $x^2-y^2=3\Rightarrow (x-y)(x+y)=3$.
   Якщо $x-y=1$, то $1\cdot (x+y)=3\Rightarrow x+y=3$. Система $\{\begin{array}{l}x-y=1,\\ x+y=3\end{array}$ дає $2x=4\Rightarrow x=2,y=1$. Перевірка: $4-2=2$, $1-2=-1$ — так.
   Якщо $x-y=-1$, то $(-1)(x+y)=3\Rightarrow x+y=-3$. Система $\{\begin{array}{l}x-y=-1,\\ x+y=-3\end{array}$ дає $2x=-4\Rightarrow x=-2,y=-1$. Перевірка: $4-(-2)=6\ne 2$ (помилка в умові чи розв'язанні).
   Правильно: $x^2-y^2=3$. При $x=2,y=1$: $4-1=3$ — так. При $x=-2,y=-1$: $4-1=3$ — так.
   Розв'язок б): $(2;1),(-2;-1)$.

3. в) Знайдемо суму квадратів: $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=13+12=25\Rightarrow x+y=\pm 5$.
   $(x-y{)}^2=x^2+y^2-2xy=13-12=1\Rightarrow x-y=\pm 1$.
   Чотири системи: $\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x-y=1\end{array}\Rightarrow x=3,y=2$; $\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x-y=-1\end{array}\Rightarrow x=2,y=3$; $\{\begin{array}{l}x+y=-5,\\ x-y=1\end{array}\Rightarrow x=-2,y=-3$; $\{\begin{array}{l}x+y=-5,\\ x-y=-1\end{array}\Rightarrow x=-3,y=-2$.
   Розв'язок в): $(3;2),(2;3),(-2;-3),(-3;-2)$.

Розв’язання

1. Розв'яжемо перше рівняння: $3x+9=x+1\Rightarrow 2x=-8\Rightarrow x=-4$.

2. Підставимо $x=-4$ у друге рівняння: $|-4-1|+2y+7=0\Rightarrow |-5|+2y+7=0\Rightarrow 5+2y+7=0\Rightarrow 2y=-12\Rightarrow y=-6$.

3. Знайдемо $x_0+y_0=-4+(-6)=-10$.

Розв’язання

1. З другого рівняння виразимо $x$: $x=\frac{-18}{2y-1}$.

2. Підставимо цей вираз у перше рівняння: $\frac{-18}{2y-1}\cdot y=-12$.

3. Спростимо дріб і розв'яжемо отримане квадратне рівняння відносно $y$: $-18y=-12(2y-1)\Rightarrow -18y=-24y+12\Rightarrow 6y=12\Rightarrow y=2$.

4. Знайдемо відповідні значення $x$, підставивши $y=2$ у вираз для $x$: $x=\frac{-18}{2\cdot 2-1}=\frac{-18}{3}=-6$.

5. Перевіримо розв'язок: $(-6)\cdot 2=-12$ (перше рівняння виконується), $-6(2\cdot 2-1)=-6\cdot 3=-18$ (друге рівняння виконується).

Розв’язання

1. а) 1. Піднесемо перше рівняння до квадрату: $(x+y{)}^2=10^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=100$.

2. Підставимо значення $x^2+y^2=68$: $68+2xy=100\Rightarrow 2xy=32\Rightarrow xy=16$.

3. Розв'яжемо систему $\{\begin{array}{l}x+y=10,\\ xy=16.\end{array}$ Корені рівняння $t^2-10t+16=0$ це $t_1=2,t_2=8$.

4. Відповідь: $(2;8)$ і $(8;2)$.

   б) 1. Скористаємося формулою різниці квадратів: $(x-y)(x+y)=80$.

5. Підставимо $x+y=20$: $(x-y)\cdot 20=80\Rightarrow x-y=4$.

6. Розв'яжемо систему $\{\begin{array}{l}x+y=20,\\ x-y=4.\end{array}$ Додамо рівняння: $2x=24\Rightarrow x=12$. Віднімемо: $2y=16\Rightarrow y=8$.

7. Відповідь: $(12;8)$.

Розв’язання

1. а) 1. З другого рівняння виразимо $x$: $x=y+2$.

2. Підставимо в перше рівняння: $(y+2)y-y=42\Rightarrow y^2+2y-y=42\Rightarrow y^2+y-42=0$.

3. Знайдемо корені квадратного тричлена: $D=1-4\cdot 1\cdot (-42)=173$ (не є повним квадратом). Перевіримо ще раз умову: $xy-y=42\Rightarrow y(x-1)=42$. З другого рівняння $x=y+2$, отже $y(y+2-1)=42\Rightarrow y^2+y-42=0$. Корені не цілі, але в шкільних задачах зазвичай виходять цілі числа. Перевіримо обчислення: $D=1+168=169$, $\sqrt{169}=13$.

4. $y_1=\frac{-1-13}{2}=-7$, $y_2=\frac{-1+13}{2}=6$. Знайдемо $x$: якщо $y=-7$, то $x=1$; якщо $y=6$, то $x=8$.

5. Відповідь: $(1;-7)$ і $(8;6)$.

   б) 1. З другого рівняння виразимо $x$: $x=y+2$.

6. Підставимо в перше рівняння: $(y+2)y-(y+2)=40\Rightarrow y^2+2y-y-2=40\Rightarrow y^2+y-42=0$.

7. Знайдемо корені: $y_1=-7,y_2=6$.

8. Знайдемо відповідні $x$: якщо $y=-7$, то $x=1$; якщо $y=6$, то $x=8$.

9. Відповідь: $(1;-7)$ і $(8;6)$.

Розв’язання

1. Система а): З першого рівняння маємо $y=10-x$. Підставляємо це у друге рівняння: $x(x-(10-x))=24(10-x)$. Спрощуємо отримане рівняння: $x(2x-10)=240-24x\Rightarrow 2x^2-10x=240-24x\Rightarrow 2x^2+14x-240=0$. Ділимо на 2: $x^2+7x-120=0$. Знаходимо корені: $(x+15)(x-8)=0$, отже $x_1=-15,x_2=8$. Знаходимо відповідні значення $y$: якщо $x=-15$, то $y=25$; якщо $x=8$, то $y=2$.

2. Система б): З першого рівняння маємо $y=10-x$. Підставляємо у друге: $x^2=32(10-x)\Rightarrow x^2=320-32x\Rightarrow x^2+32x-320=0$. Знаходимо корені за формулою або розкладанням на множники: $(x+40)(x-8)=0$, отже $x_1=-40,x_2=8$. Знаходимо відповідні значення $y$: якщо $x=-40$, то $y=50$; якщо $x=8$, то $y=2$.

Розв’язання

1. Складаємо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=8,\\ x^2+y^2=40.\end{array}$ Виразимо $y=8-x$. Підставимо у друге рівняння: $x^2+(8-x{)}^2=40\Rightarrow x^2+64-16x+x^2=40\Rightarrow 2x^2-16x+24=0$. Ділимо на 2: $x^2-8x+12=0$. Корені: $(x-2)(x-6)=0$, отже $x_1=2,x_2=6$. Відповідні $y$: якщо $x=2$, то $y=6$; якщо $x=6$, то $y=2$.

Розв’язання

1. Система а): Перша функція — парабола з вершиною в точці $(3,-16)$, що розкривається вниз. Друга функція — V-подібний графік з вершиною в початку координат (зрізаний на $y=-1$). Перетини можна знайти аналітично для перевірки: якщо $x\ge 0$, то $6x-x^2-7=x-1\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x_1=2,x_2=3$. Якщо $x<0$, то $6x-x^2-7=-x-1\Rightarrow x^2-7x+6=0\Rightarrow x_1=1$ (не підходить), $x_2=6$ (не підходить). Перевірка: при $x=2,y=1$; при $x=3,y=2$. Отже, два розв'язки.

2. Система б): Парабола та гіпербола. Гіпербола має асимптоти $x=0$ і $y=1$. Парабола проходить через точки $(-1,-2),(0,-1),(1,-2)$. Перетини: підставимо $y$: $x^2-2x-1=\frac{3}{x}+1\Rightarrow x^3-2x^2-4x-3=0$. Очевидний корінь $x=-1$ (бо $-1+2+4-3\ne 0$, помилка в підстановці). Спробуємо $x=3$: $27-18-12-3=-6\ne 0$. Спробуємо графічно: парабола йде вниз, гіпербола — у двох гілках. Перетини є.

3. Система в): Щоб система мала розв'язок, треба підібрати $△$ і $\square$. Наприклад, якщо взяти $△=0$ і $\square =1$, то $y=x^2+1$ і $y=1$. Перетин: $x^2+1=1\Rightarrow x=0$. Один розв'язок $(0;1)$.