ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 136

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 664–672 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Системи рівнянь другого степеня

Завдання 664

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y + x = 1 y + x^{2} = 1$ ; б) ${8 y = x^{2} y - x = 0$ ; в) ${x y = 6 y = 1, 5 x$ .

Розв’язання

Пункт а): Побудуємо графік $y = 1 - x$ (пряма лінія) та $y = 1 - x^{2}$ (парабола, що відкрита вниз з вершиною $(0; 1)$ ). Перетин цих графіків відбувається в точках $(- 1; 2)$ та $(1; 0)$ .
Пункт б): Побудуємо параболу $y = \frac{x ^{2}}{8}$ та параболу $y = x$ (оскільки $x = y \Rightarrow y^{2} = x$ , але тут $y = x$ — це права гілка параболи $y^{2} = x$ ). Перетин графіків $x^{2} = 8 y$ та $y = x$ дає точку $(4; 2)$ .
Пункт в): Побудуємо гіперболу $x y = 6$ та пряму $y = 1, 5 x$ . Перетин графіків відбувається у точках $(2; 3)$ та $(- 2; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 1; 2), (1; 0)$ ; б) $(4; 2)$ ; в) $(2; 3), (- 2; - 3)$ .

Завдання 665

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y = x^{2} + 1 x - y = - 3$ ; б) ${4 y = x^{2} y = x + 2$ ; в) ${x y = 4 x - y = 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Графік $y = x^{2} + 1$ — це парабола з вершиною $(0; 1)$ . Графік $y = x + 3$ — пряма. Вони перетинаються в точках $(- 2; 5)$ та $(1; 2)$ .
Пункт б): Графік $x^{2} = 4 y$ — парабола з вершиною $(0; 0)$ . Графік $y = x + 2$ — крива, що починається від точки $(0; 2)$ і йде вгору. Ці графики не перетинаються (парабола швидко росте, а корінь повільно), тому розв'язків немає.
Пункт в): Графік $x y = 4$ — гіпербола. Графік $x - y = 0$ , тобто $y = x$ — пряма, що проходить через початок координат під кутом 45°. Перетин відбувається в точках $(2; 2)$ та $(- 2; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 5), (1; 2)$ ; б) розв'язків немає; в) $(2; 2), (- 2; - 2)$ .

Завдання 666

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y^{2} = x y = x^{2}$ ; б) ${x^{2} + y^{2} = 25 y = x^{2} - 5$ ; в) ${x y - 8 = 0 x^{2} - y = 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Графік $y^{2} = x$ — парабола, відкрита вправо. Графік $y = x^{2}$ — парабола, відкрита вгору. Вони перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(1; 1)$ .
Пункт б): Коло $x^{2} + y^{2} = 25$ має радіус 5. Парабола $y = x^{2} - 5$ проходить через точку $(0; - 5)$ . Перетин графіків відбувається в точках $(- 3; 4)$ та $(3; 4)$ .
Пункт в): Гіпербола $x y = 8$ та парабола $y = x^{2}$ . Підставимо $y = x^{2}$ у перше рівняння: $x \cdot x^{2} = 8 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$ . Тоді $y = 4$ . Єдиний розв'язок $(2; 4)$ .

Відповідь:

а) $(0; 0), (1; 1)$ ; б) $(- 3; 4), (3; 4)$ ; в) $(2; 4)$ .

Завдання 667

Графічне розв'язання систем рівнянь

а) ${x - y^{2} = 0 y = 2 - x$ ;
б) ${y = x^{2} x y = - 8$ ;
в) ${x^{2} + y^{2} = 1 y = 1 - x^{2}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Побудуємо параболу $x = y^{2}$ (відкрита вправо) та пряму $y = 2 - x$ . Точки перетину графіків це $(0; 2)$ , $(0; - 2)$ та $(1; 1)$ , але точніше: підставимо $x = y^{2}$ у друге рівняння: $y = 2 - y^{2} \Rightarrow y^{2} + y - 2 = 0$ . Корені $y_{1} = 1, y_{2} = - 2$ . Якщо $y = 1$ , то $x = 1$ . Якщо $y = - 2$ , то $x = 4$ . Розв'язки: $(1; 1), (4; - 2)$ .
Для пункту б): Побудуємо параболу $y = x^{2}$ та гіперболу $x y = - 8$ . Точки перетину графіків це $(2; - 4)$ та $(- 2; 4)$ . Перевірка: $2 \cdot (- 4) = - 8$ , $(- 2) \cdot 4 = - 8$ .
Для пункту в): Побудуємо коло $x^{2} + y^{2} = 1$ та параболу $y = 1 - x^{2}$ . Оскільки $y = 1 - x^{2}$ — це верхня частина параболі з вершиною $(0; 1)$ , яка проходить через початок координат. Коло має радіус 1 і центр у початку координат. Графіки перетинаються в одній точці $(0; 1)$ . Перевірка: $0^{2} + 1^{2} = 1$ та $1 = 1 - 0^{2}$ .

Відповідь:

а) $(1; 1), (4; - 2)$ ;
б) $(2; - 4), (- 2; 4)$ ;
в) $(0; 1)$ .

Завдання 668

Розв'язання систем рівнянь способом підстановки

а) ${x - y = 3 x^{2} + y^{2} = 9$ ;
б) ${x - y = 3 x y = 4$ ;
в) ${x y - y^{2} = 4 y - x = - 2$ .

Розв’язання

Пункт а): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3)^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y^{2} + 6 y + 9 + y^{2} = 9 \Rightarrow 2 y^{2} + 6 y = 0 \Rightarrow 2 y (y + 3) = 0$ . Корені $y_{1} = 0, y_{2} = - 3$ . Якщо $y = 0$ , то $x = 3$ . Якщо $y = - 3$ , то $x = 0$ . Розв'язки: $(3; 0), (0; - 3)$ .
Пункт б): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3) y = 4 \Rightarrow y^{2} + 3 y - 4 = 0$ . Дискримінант $D = 9 + 16 = 25$ , корені $y_{1} = 1, y_{2} = - 4$ . Якщо $y = 1$ , то $x = 4$ . Якщо $y = - 4$ , то $x = - 1$ . Розв'язки: $(4; 1), (- 1; - 4)$ .
Пункт в): З другого рівняння $y = x - 2$ . Підставимо у перше: $x (x - 2) - (x - 2)^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} - 2 x - (x^{2} - 4 x + 4) = 4 \Rightarrow x^{2} - 2 x - x^{2} + 4 x - 4 = 4 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ . Тоді $y = 4 - 2 = 2$ . Розв'язок: $(4; 2)$ .

Відповідь:

а) $(3; 0), (0; - 3)$ ;
б) $(4; 1), (- 1; - 4)$ ;
в) $(4; 2)$ .

Завдання 669

Розв'язання систем рівнянь способом підстановки (англійською)

а) ${x^{2} + y^{2} = 100 x - y = 2$ ;
б) ${x - y = 3 x y + 2 = 0$ ;
в) ${x^{2} - x y = 16 x - y = 2$ .

Розв’язання

Пункт а): З другого рівняння $x = y + 2$ . Підставимо у перше: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} = 100 \Rightarrow 2 y^{2} + 4 y - 96 = 0 \Rightarrow y^{2} + 2 y - 48 = 0$ . Корені $y_{1} = 6, y_{2} = - 8$ . Якщо $y = 6$ , то $x = 8$ . Якщо $y = - 8$ , то $x = - 6$ . Розв'язки: $(8; 6), (- 6; - 8)$ .
Пункт б): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3) y + 2 = 0 \Rightarrow y^{2} + 3 y + 2 = 0$ . Корені $y_{1} = - 1, y_{2} = - 2$ . Якщо $y = - 1$ , то $x = 2$ . Якщо $y = - 2$ , то $x = 1$ . Розв'язки: $(2; - 1), (1; - 2)$ .
Пункт в): З другого рівняння $x = y + 2$ . Підставимо у перше: $(y + 2)^{2} - (y + 2) y = 16 \Rightarrow (y^{2} + 4 y + 4) - (y^{2} + 2 y) = 16 \Rightarrow 2 y + 4 = 16 \Rightarrow 2 y = 12 \Rightarrow y = 6$ . Тоді $x = 6 + 2 = 8$ . Розв'язок: $(8; 6)$ .

Відповідь:

а) $(8; 6), (- 6; - 8)$ ;
б) $(2; - 1), (1; - 2)$ ;
в) $(8; 6)$ .

Завдання 670

Розв'язання системи рівнянь підстановкою

1) ${3 x + y = 1 x - 2 y^{2} = - 7$
2) ${2 x - y = 8 2 x^{2} - y^{2} = 32$
3) ${x - y = 2 x^{2} - x y + y^{2} = 19$

Розв’язання

Варіант а) Виразимо $y$ : $y = 1 - 3 x$ . Підставимо у друге рівняння: $x - 2 (1 - 3 x)^{2} = - 7$ . Розкриємо дужки: $x - 2 (1 - 6 x + 9 x^{2}) = - 7 \Rightarrow x - 2 + 12 x - 18 x^{2} = - 7$ . Отримаємо квадратне рівняння: $- 18 x^{2} + 13 x + 5 = 0$ , або $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 13)^{2} - 4 \cdot 18 \cdot (- 5) = 169 + 360 = 529$ . Корені: $x_{1} = \frac{13 + 23}{36} = 1$ , $x_{2} = \frac{13 - 23}{36} = - \frac{5}{18}$ (перевірка показує, що цілісних коренів є лише один). Перевіримо простішим способом: якщо $x = 1$ , то $y = - 2$ . Перевірка: $3 (1) + (- 2) = 1$ (так), $1 - 2 (- 2)^{2} = 1 - 8 = - 7$ (так).
Виправлення розрахунку: $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ . Дискримінант $D = 529$ , $D = 23$ . $x_{1} = \frac{13 + 23}{36} = 1$ ; $x_{2} = \frac{13 - 23}{36} = - \frac{10}{36} = - \frac{5}{18}$ . Знайдемо відповідні $y$ : при $x = 1$ , $y = - 2$ . При $x = - 5/18$ , $y = 1 - 3 (- 5/18) = 1 + 5/6 = 11/6$ . Перевірка другого рівняння для дробового кореня складна, але математично вірна. Однак у шкільних підручниках зазвичай беруться цілісні розв'язки. Давайте перевіримо ще раз умову: $x - 2 y^{2} = - 7$ . Якщо $x = 1, y = - 2$ , то $1 - 2 (4) = - 7$ . Все вірно.
Альтернативний підхід для шкільної програми: Можливо, я помилився у розкладанні на множники або знаходженні коренів. Перевіримо: $18 x^{2} - 13 x - 5 = (9 x - 5) (2 x + 1)?$ Ні. $(6 x - 5) (3 x + 1) = 18 x^{2} + 6 x - 15 x - 5 = 18 x^{2} - 9 x - 5$ . Не підходить.
Давайте розв'яжемо $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ ще раз. $x = \frac{13 \pm 23}{36}$ . $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 10/36 = - 5/18$ . Відповідно, пари $(1; - 2)$ і $(- 5/18; 11/6)$ .
Варіант б) Виразимо $y$ : $y = 2 x - 8$ . Підставимо у друге рівняння: $2 x^{2} - (2 x - 8)^{2} = 32$ . Розкриємо дужки: $2 x^{2} - (4 x^{2} - 32 x + 64) = 32 \Rightarrow - 2 x^{2} + 32 x - 64 = 32 \Rightarrow - 2 x^{2} + 32 x - 96 = 0$ . Поділимо на $- 2$ : $x^{2} - 16 x + 48 = 0$ . Знайдемо корені: $(x - 6) (x - 8) = 0$ , отже $x_{1} = 6, x_{2} = 8$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 6 \Rightarrow y = 2 (6) - 8 = 4$ ; при $x = 8 \Rightarrow y = 2 (8) - 8 = 8$ .

Відповідь:

$(6; 4), (8; 8)$ .

3. Варіант в) Виразимо $y$ : $y = x - 2$ . Підставимо у друге рівняння: $x^{2} - x (x - 2) + (x - 2)^{2} = 19$ . Розкриємо дужки: $x^{2} - x^{2} + 2 x + (x^{2} - 4 x + 4) = 19 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 4 = 19 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 15 = 0$ . Знайдемо корені: $(x - 5) (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = 5, x_{2} = - 3$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 5 \Rightarrow y = 3$ ; при $x = - 3 \Rightarrow y = - 5$ .

Завдання 671

Розв'язання системи рівнянь підстановкою

1) ${x^{2} + 2 y = 27 x - 2 y = 3$
2) ${8 x^{2} - y^{2} = 28 3 x + y = 4$
3) ${x + y = 3 2 x^{2} - x y - y^{2} = - 10$

Розв’язання

Варіант а) Виразимо $x$ : $x = 27 - 2 y$ . Підставимо у друге рівняння: $(27 - 2 y)^{2} + 2 y = 27$ ? Ні, краще виразити $x$ з другого рівняння: $x = 3 + 2 y$ . Підставимо у перше: $(3 + 2 y)^{2} + 2 y = 27 \Rightarrow 9 + 12 y + 4 y^{2} + 2 y - 27 = 0 \Rightarrow 4 y^{2} + 14 y - 18 = 0$ . Поділимо на 2: $2 y^{2} + 7 y - 9 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 49 + 72 = 121$ . Корені: $y_{1} = \frac{- 7 + 11}{4} = 1$ , $y_{2} = \frac{- 7 - 11}{4} = - 4.5$ .
Знайдемо $x$ : при $y = 1 \Rightarrow x = 3 + 2 (1) = 5$ ; при $y = - 4.5 \Rightarrow x = 3 + 2 (- 4.5) = - 6$ .

Відповідь:

$(5; 1), (- 6; - 4.5)$ .

2. Варіант б) Виразимо $y$ : $y = 4 - 3 x$ . Підставимо у перше рівняння: $8 x^{2} - (4 - 3 x)^{2} = 28 \Rightarrow 8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = 28 \Rightarrow x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Дискримінант $D = 576 - 4 \cdot (- 44) = 576 + 176 = 752$ ? Ні, $b^{2} - 4 a c = 2 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44) = 576 + 176 = 752$ . Це не квадрат числа. Перевіримо розкладання: $x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Можливо, я помилився у знаках. $8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = x^{2} + 24 x - 16$ . Тоді $x^{2} + 24 x - 16 - 28 = 0 \Rightarrow x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Корені: $D = 576 + 176 = 752$ , $752 \approx 27.4$ . Це дивно для шкільної задачі. Перевіримо ще раз умову: $8 x^{2} - y^{2} = 28, 3 x + y = 4$ .
Можливо, краще підставити $y$ у перше рівняння без розкриття дужок спочатку? Ні.
Давайте перевіримо корені: $x_{1} = - 12 + 148$ ? Ні. Перевіримо обчислення: $8 x^{2} - (4 - 3 x)^{2} = 28$ . $8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = 28$ . $- x^{2} + 24 x - 16 = 28 \Rightarrow - x^{2} + 24 x - 44 = 0 \Rightarrow x^{2} - 24 x + 44 = 0$ . Дискримінант $D = 576 - 176 = 400$ . $D = 20$ . Корені: $x_{1} = \frac{24 + 20}{2} = 22$ , $x_{2} = \frac{24 - 20}{2} = 2$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 2 \Rightarrow y = 4 - 6 = - 2$ ; при $x = 22 \Rightarrow y = 4 - 66 = - 62$ .

Завдання 672

Розв'язання системи рівнянь алгебраїчним додаванням

1) ${x + y - x y = - 23 x - y + x y = 49$
2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7$
3) ${x^{2} + x y = 5 2 x^{2} - 3 x y = - 10$

Розв’язання

Варіант а) Додамо рівняння: $(x + y - x y) + (x - y + x y) = - 23 + 49 \Rightarrow 2 x = 26 \Rightarrow x = 13$ . Віднімемо перше від другого: $(x - y + x y) - (x + y - x y) = 49 - (- 23) \Rightarrow - 2 y + 2 x y = 72$ . Підставимо $x = 13$ : $- 2 y + 26 y = 72 \Rightarrow 24 y = 72 \Rightarrow y = 3$ .
Перевірка: $13 + 3 - 39 = - 23$ (так), $13 - 3 + 39 = 49$ (так).

Відповідь:

$(13; 3)$ .

2. Варіант б) Поділимо перше рівняння на друге: $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{25}{7}$ . Це складно. Краще виразимо $y^{2}$ з другого рівняння: $y^{2} = x^{2} - 7$ . Підставимо у перше: $x^{2} + (x^{2} - 7) = 25 \Rightarrow 2 x^{2} = 32 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 4 \Rightarrow y^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ ; при $x = - 4 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ .
Перевірка підстановки: $(- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ , $16 - 9 = 7$ (так). Але треба перевірити знаки. У другому рівнянні $x^{2} - y^{2} = 7$ . Якщо $x = 4, y = 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = 4, y = - 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = - 4, y = 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = - 4, y = - 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ .