ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 135

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 657–663 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Системи рівнянь другого степеня

Завдання 657

Ідентифікація графіків функцій

Визначити геометричну фігуру, що є графіком кожного з рівнянь: а) $y = x^{2}$ ; б) $x^{2} + y^{2} = 4$ ; в) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ; г) $y^{2} = x$ .

Розв’язання

Для а) $y = x^{2}$ — це стандартна параболу, що проходить через початок координат і розкривається вгору.
Для б) $x^{2} + y^{2} = 4$ — це коло з центром у точці $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$ .
Для в) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ — це коло з центром у точці $(1; 2)$ і радіусом $R = 3$ .
Для г) $y^{2} = x$ — це параболу, що проходить через початок координат і розкривається вправо.

Відповідь:

а) парабола; б) коло з центром у початку координат; в) коло з центром $(1; 2)$ ; г) парабола, вісь симетрії якої — вісь $O x$ .

Завдання 658

Перевірка розв'язків рівняння

Визначити, яка з наведених пар чисел не є розв'язком рівняння $x^{2} - 3 x = y$ . Варіанти: А $(0; 0)$ , Б $(3; 0)$ , В $(0; 3)$ , Г $(- 1; 4)$ .

Розв’язання

Для А $(0; 0)$ : $0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$ , що дорівнює $y = 0$ . Це розв'язок.
Для Б $(3; 0)$ : $3^{2} - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$ , що дорівнює $y = 0$ . Це розв'язок.
Для В $(0; 3)$ : $0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$ , але $y = 3$ . Оскільки $0 \neq = 3$ , це не є розв'язком.
Для Г $(- 1; 4)$ : $(- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) = 1 + 3 = 4$ , що дорівнює $y = 4$ . Це розв'язок.

Відповідь:

В $(0; 3)$ .

Завдання 659

Аналіз існування розв'язків рівнянь

Пояснити, чому рівняння а) $x^{2} + y^{2} + 4 = 0$ та б) $x^{2} + y^{2} = 2 x y - 3$ не мають розв'язків.

Розв’язання

Рівняння а): $x^{2} + y^{2} = - 4$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ та $y^{2} \geq 0$ , то сума $x^{2} + y^{2} \geq 0$ . Протиріччя з $- 4$ . Розв'язків немає.
Рівняння б): Перенесемо все вліво: $x^{2} - 2 x y + y^{2} = - 3$ . Це $(x - y)^{2} = - 3$ . Оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, а $- 3 < 0$ , розв'язків немає.

Відповідь:

а) сума квадратів не може дорівнювати від'ємному числу; б) рівняння зводиться до $(x - y)^{2} = - 3$ , що неможливо для дійсних чисел.

Завдання 660

Розв'язок системи рівнянь за графіком

Знайти пару чисел, яка є розв'язком системи ${x^{2} + y = 2, 2 x y + y = 3$ з варіантами: А $(0; 2)$ , Б $(1; 1)$ , В $(- 1; 1)$ , Г $(- 2; 0)$ .

Розв’язання

Перевіряємо варіант Б $(1; 1)$ . Підставляємо $x = 1$ і $y = 1$ у перше рівняння: $1^{2} + 1 = 1 + 1 = 2$ . Рівність виконується.
Перевіряємо ту саму пару чисел у другому рівнянні: $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ . Рівність також виконується.

Відповідь:

Б $(1; 1)$

Завдання 661

Обґрунтування відсутності розв'язків у системі

Пояснити, чому система рівнянь а) ${x^{2} + y^{2} + 7 = 0, 3 x y - y^{2} = 0$ і б) ${x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} - y^{2} = 4$ не має розв'язків.

Розв’язання

Система а): У першому рівнянні $x^{2} + y^{2} + 7 = 0$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ та $y^{2} \geq 0$ , то $x^{2} + y^{2} \geq 0$ . Отже, $x^{2} + y^{2} + 7 \geq 7$ . Це означає, що вираз не може дорівнювати нулю. Розв'язків немає.
Система б): Додамо почленно обидва рівняння: $(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 1 + 4$ . Скорочуємо $y^{2}$ : $2 x^{2} = 5$ , звідси $x^{2} = 2, 5$ . Підставимо це у перше рівняння: $2, 5 + y^{2} = 1$ , тобто $y^{2} = 1 - 2, 5 = - 1, 5$ . Квадрат числа не може бути від'ємним. Розв'язків немає.

Відповідь:

а) перше рівняння не має розв'язків; б) під час додавання рівнянь отримуємо протиріччя ( $y^{2} = - 1, 5$ ).

Завдання 662

Гра на складання системи без розв'язків

Один учень має скласти систему рівнянь другого степеня, яка не має розв'язків, а другий перевіряє. Потім ролі міняються.

Розв’язання

Складання системи: Придумай два рівняння, наприклад, ${x^{2} + y^{2} = 4, x^{2} + y^{2} = 9$ . Графіки — це два різні кола з центром у початку координат. Вони не перетинаються.
Перевірка: Розв'яжи систему за методом віднімання рівнянь. Отримаєш $0 = 5$ , що є протиріччям. Значить, розв'язків немає.
План для учня: Склади систему з двох рівнянь кола різного радіуса або систему, де сума квадратів дорівнює від'ємному числу. Перевір, чи не перетинаються графіки (або чи не виникає протиріччя при алгебраїчному розв'язанні).

Відповідь:

Приклад системи без розв'язків: ${x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = 4$ ; план виконання: скласти систему з двох рівнянь, що описують неперетинаючіся фігури (наприклад, кола різного радіуса).

Завдання 663

Ідентифікація рівнянь за графіками

Дано два графіки на малюнку 13.4 (а і б). Потрібно визначити, якому рівнянню відповідає кожен графік окремо та обидва разом: а) синього кольору; б) рожевого кольору; в) обох кольорів одночасно.

Розв’язання

Аналізуємо графік синього кольору (мал. 13.4, б): це парабола, вісь симетрії якої — вісь $O x$ , вершина в точці $(0; 0)$ , проходить через точки $(1; 1)$ та $(4; 2)$ . Рівняння має вигляд $y^{2} = x$ (або $x = y^{2}$ ).
Аналізуємо графік рожевого кольору (мал. 13.4, а): це коло з центром у початку координат $(0; 0)$ , яке перетинає осі в точках $\pm 5$ . Рівняння має вигляд $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Відповідь:

а) $y^{2} = x$ ; б) $x^{2} + y^{2} = 25$ ; в) $y^{2} = x$ та $x^{2} + y^{2} = 25$ (одночасно).