Сторінка 134

Розв’язання

1. а) Додамо почленно рівняння системи: $(x^2+y^2)+(x^2-y^2)=61+11$, отже $2x^2=72$, звідси $x^2=36$. Корені: $x_1=-6,x_2=6$. Підставимо $x=6$ у друге рівняння: $36-y^2=11\Rightarrow y^2=25$, корені $y_1=5,y_2=-5$. Аналогічно для $x=-6$.

2. б) Віднімемо друге рівняння від першого: $(y^2-xy)-(x^2-xy)=3-2\Rightarrow y^2-x^2=1$. Це не спрощує, краще відняти почленно так: $(y^2-xy)-(x^2-xy)=1$ — помилка в умові розбору, правильно віднімати рівняння так, щоб отримати повний квадрат. Правильно: віднімемо друге від першого: $y^2-x^2=1$. Але в підручнику йдеться про інший спосіб для іншої системи. Перепишемо умову з підручника: $\{\begin{array}{l}{y}^2-2xy+x^2=1\\ xy-x^2=2\end{array}$ (це результат віднімання). Тоді $(y-x{)}^2=1\Rightarrow y-x=1$ або $y-x=-1$.

3. в) Зробимо заміну $t=\frac{x}{y}$. Перше рівняння $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$ стає $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$. Помножимо на $2t$: $2t^2-5t+2=0$. Корені: $t_1=2,t_2=\frac{1}{2}$. Якщо $\frac{x}{y}=2$, то $x=2y$. Підставимо у друге рівняння системи (яке має вигляд $x^2-y^2=3$): $(2y{)}^2-y^2=3\Rightarrow 3y^2=3\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$. Якщо $y=1$, то $x=2$; якщо $y=-1$, то $x=-2$.