ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 141

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 706–711 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Системи рівнянь другого степеня

Завдання 706

Параметр системи рівнянь

Знайти найбільше значення параметра $a$ , при якому система ${x^{2} + y^{2} = 81, (x + 2)^{2} + y^{2} = a^{2}$ має єдиний розв'язок.

Розв’язання

Відстань між центрами $O_{1} (0; 0)$ і $O_{2} (- 2; 0)$ дорівнює $d = 2$ .
Оскільки $R_{1} = 9$ і $R_{2} = a$ , а відстань між центрами менша за радіус першого кола ( $2 < 9$ ), друге коло лежить всередині першого, якщо $a < 9$ .
Для єдиної точки перетину (внутрішнього дотику) має виконуватися умова: $R_{1} - R_{2} = d$ , тобто $9 - a = 2$ .

Відповідь:

Найбільше значення параметра $a$ дорівнює $7$ .

Завдання 707

Розв'язання систем рівнянь

а) ${∣ x + 1∣ + ∣ y - 1∣ = 5, x + 1 = 4 y - 4;$ б) ${y = ∣ - x^{2} + 2 x ∣, x + y = 6.$

Розв’язання

а)
Виразимо $x + 1$ з другого рівняння: $x + 1 = 4 (y - 1)$ . Оскільки $∣ x + 1∣ \geq 0$ , то $4 (y - 1) + ∣ y - 1∣ = 5$ . Позначимо $t = y - 1$ . Тоді $4 t + ∣ t ∣ = 5$ .
Якщо $t \geq 0$ , то $5 t = 5 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow y = 2$ . Підставимо в друге рівняння: $x + 1 = 4 (1) \Rightarrow x = 3$ . Перевірка: $∣3 + 1∣ + ∣2 - 1∣ = 4 + 1 = 5$ (підходить).
Якщо $t < 0$ , то $4 t - t = 5 \Rightarrow 3 t = 5 \Rightarrow t = 5/3$ (не підходить, бо $t < 0$ ).
Отже, єдиний розв'язок: $(3; 2)$ .
б)
Розглянемо випадки для модуля в першому рівнянні: $y = ∣ - (x - 1)^{2} + 1∣$ .
Якщо $- x^{2} + 2 x \geq 0$ (тобто $x \in [0; 2]$ ), то $y = - x^{2} + 2 x$ . Підставимо в друге рівняння: $x + (- x^{2} + 2 x) = 6 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 6 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 24 < 0$ , розв'язків немає.
Якщо $- x^{2} + 2 x < 0$ (тобто $x < 0$ або $x > 2$ ), то $y = x^{2} - 2 x$ . Підставимо в друге рівняння: $x + (x^{2} - 2 x) = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$ .
Корені: $(x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 2$ . Обидва корені підходять до умови $x < 0$ або $x > 2$ .
Знайдемо відповідні $y$ : при $x = 3, y = 9 - 6 = 3$ ; при $x = - 2, y = 4 + 4 = 8$ .

Відповідь:

а) $(3; 2)$ ; б) $(3; 3), (- 2; 8)$ .

Завдання 708

Довідна швидкість і відстань

1) $v_{світла} = 3 \cdot 1 0^{5}$ км/с. Знайти відстань за а) 5 с; б) 1 год; в) 1 рік. 2) $v_{звуку} \approx 343$ м/с. Знайти відстань за а) 5 с; б) 15 с; в) 0,5 хв. 3) Час між блискавкою і громом $Δ t = 10$ с. Знайти відстань.

Розв’язання

Світло ( $v = 300000$ км/с):
а) $S = 300000 \cdot 5 = 1500000$ км.
б) $1$ год $= 3600$ с. $S = 300000 \cdot 3600 = 1080000000$ км.
в) За рік (приблизно $365 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 31536000$ с). $S \approx 9460800000000$ км (астрономічна одиниця $\approx 150$ млн км, світло проходить за рік $\approx 9.46$ трлн км).
Звук ( $v = 343$ м/с):
а) $S = 343 \cdot 5 = 1715$ м.
б) $S = 343 \cdot 15 = 5145$ м.
в) $0, 5$ хв $= 30$ с. $S = 343 \cdot 30 = 10290$ м.
Відстань до блискавки: $S = 343 м / с \cdot 10 с = 3430$ м $= 3, 43$ км.
Безпечна відстань — $15$ км. Оскільки $3, 43 < 15$ , перебувати небезпечно.

Відповідь:

а) $1, 5$ млн км; б) $1, 08$ млрд км; в) $\approx 9, 46$ трлн км. Звук: а) $1, 715$ км; б) $5, 145$ км; в) $10, 29$ км. Відстань до блискавки $3, 43$ км (небезпечно).

Завдання 709

Відповідність функцій і відстаней перетину

Потрібно встановити відповідність між парами функцій (1–3) та відстанню між точками їхнього перетину (А–Д).

Розв’язання

Пару 1: $5 - x = \frac{4}{x}$ . Перетворимо на квадратне рівняння: $5 x - x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Точки перетину: $(1; 4)$ і $(4; 1)$ . Відстань: $(4 - 1)^{2} + (1 - 4)^{2} = 9 + 9 = 18 = 32$ . Це варіант В.
Пару 2: $x = 0, 25 (x + 3)$ . Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи $x \geq - 3$ ): $x = \frac{1}{16} (x + 3)^{2} \Rightarrow 16 x = x^{2} + 6 x + 9 \Rightarrow x^{2} - 10 x + 9 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 9$ . Точки перетину: $(1; 1)$ і $(9; 3)$ . Відстань: $(9 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = 64 + 4 = 68 = 217$ . Це варіант А.
Пару 3: $x^{2} - 2 x = - x^{2} + 6 x - 6$ . Перенесемо все вліво: $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Точки перетину: $(1; - 1)$ і $(3; 5)$ . Відстань: $(3 - 1)^{2} + (5 - (- 1))^{2} = 4 + 36 = 40 = 210$ .

Відповідь:

1 — В, 2 — А, 3 — Д.

Завдання 710

Сума і різниця дробів

а) $\frac{1}{2 x ^{2} + 5 x - 3} + \frac{1}{2 x ^{2} - 7 x + 3}$ ; б) $\frac{2}{6 a ^{2} - 13 a + 6} + \frac{1}{3 a ^{2} - 11 a + 6}$ .

Розв’язання

Завдання а): $2 x^{2} + 5 x - 3 = (2 x - 1) (x + 3)$ ; $2 x^{2} - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3)$ . Спільний знаменник: $(2 x - 1) (x + 3) (x - 3)$ .
Сума чисельників: $1 \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x + 3) = x - 3 + x + 3 = 2 x$ .
Отже, $\frac{2 x}{( 2 x - 1 ) ( x ^{2} - 9 )}$ .
Завдання б): $6 a^{2} - 13 a + 6 = (3 a - 2) (2 a - 3)$ ; $3 a^{2} - 11 a + 6 = (3 a - 2) (a - 3)$ . Спільний знаменник: $(3 a - 2) (2 a - 3) (a - 3)$ .
Сума чисельників: $2 \cdot (a - 3) + 1 \cdot (2 a - 3) = 2 a - 6 + 2 a - 3 = 4 a - 9$ .
Отже, $\frac{4 a - 9}{( 3 a - 2 ) ( 2 a - 3 ) ( a - 3 )}$ .

Відповідь:

а) $\frac{2 x}{( 2 x - 1 ) ( x ^{2} - 9 )}$ ; б) $\frac{4 a - 9}{( 3 a - 2 ) ( 2 a - 3 ) ( a - 3 )}$ .

Завдання 711

Скорочення дробів

а) $\frac{2 a ^{2} - 5 a + 2}{3 a ^{2} - 3 , 5 a + 1}$ ; б) $\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} - 2 3 x + 3}$ ; в) $\frac{c ^{2} + 5 c - 10}{c ^{2} - 3 5 c + 10}$ .

Розв’язання

Завдання а): Чисельник: $2 a^{2} - 5 a + 2 = (2 a - 1) (a - 2)$ . Знаменник: $3 a^{2} - \frac{7}{2} a + 1 = \frac{6 a ^{2} - 7 a + 2}{2} = \frac{( 2 a - 1 ) ( 3 a - 2 )}{2}$ .
Дріб стає $\frac{( 2 a - 1 ) ( a - 2 )}{\frac{1}{2} ( 2 a - 1 ) ( 3 a - 2 )} = \frac{2 ( a - 2 )}{3 a - 2}$ .
Завдання б): Чисельник: $x^{2} - 3 = (x - 3) (x + 3)$ . Знаменник: $x^{2} - 23 x + 3 = (3 x)^{2} - 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ ? Ні, це $(x - 3)^{2}$ .
Дріб стає $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{x + 3}{x - 3}$ .
Завдання в): Чисельник: $c^{2} + 5 c - 10$ . Корені рівняння $t^{2} + 5 t - 10 = 0$ : $D = 5 + 40 = 45$ , $D = 35$ . $t = \frac{- 5 \pm 3 5}{2}$ . Корені: $c_{1} = 5, c_{2} = - 25$ . Чисельник: $(c - 5) (c + 25)$ .
Знаменник: $c^{2} - 35 c + 10$ . Корені рівняння $t^{2} - 35 t + 10 = 0$ : $D = 45 - 40 = 5$ , $D = 5$ . $t = \frac{3 5 \pm 5}{2}$ . Корені: $c_{1} = 25, c_{2} = 5$ . Знаменник: $(c - 5) (c - 25)$ .
Дріб стає $\frac{( c - 5 ) ( c + 2 5 )}{( c - 5 ) ( c - 2 5 )} = \frac{c + 2 5}{c - 2 5}$ .

Відповідь:

а) $\frac{2 ( a - 2 )}{3 a - 2}$ ; б) $\frac{x + 3}{x - 3}$ ; в) $\frac{c + 2 5}{c - 2 5}$ .