Завдання 702, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 702

Відстань між точками перетину графіків

а) Прямая $x - y = 7$ і коло $x^{2} + y^{2} = 169$ .
б) Коло $x^{2} + y^{2} = 25$ і коло $(x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ .

Розв’язання

Пункт а): Система ${x - y = 7 x^{2} + y^{2} = 169$ . З першого рівняння $x = y + 7$ . Підставимо у друге: $(y + 7)^{2} + y^{2} = 169 \Rightarrow y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} = 169 \Rightarrow 2 y^{2} + 14 y - 120 = 0$ . Ділимо на 2: $y^{2} + 7 y - 60 = 0$ . Корені: $D = 49 + 240 = 289$ , $D = 17$ . $y_{1} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12$ , $y_{2} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ . Знаходимо $x$ : якщо $y = - 12$ , то $x = - 5$ ; якщо $y = 5$ , то $x = 12$ . Точки перетину: $(- 5; - 12)$ і $(12; 5)$ . Відстань за формулою: $(12 - (- 5))^{2} + (5 - (- 12))^{2} = 1 7^{2} + 1 7^{2} = 172$ .
Пункт б): Система ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ . Розкриємо дужки у другому рівнянні: $x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 8 y + 16 = 1$ . Підставимо $x^{2} + y^{2} = 25$ : $25 - 8 x - 8 y + 32 = 1 \Rightarrow - 8 x - 8 y = - 56 \Rightarrow x + y = 7$ . Маємо систему ${x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7$ . З другого $y = 7 - x$ . Підставимо: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25 \Rightarrow x^{2} + 49 - 14 x + x^{2} = 25 \Rightarrow 2 x^{2} - 14 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . Корені: $x_{1} = 3, x_{2} = 4$ . Знаходимо $y$ : якщо $x = 3$ , то $y = 4$ ; якщо $x = 4$ , то $y = 3$ . Точки перетину: $(3; 4)$ і $(4; 3)$ . Відстань: $(4 - 3)^{2} + (3 - 4)^{2} = 1 + 1 = 2$ .

Відповідь:

а) $172$ ;
б) $2$ .

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 702 с. 140

Відстань між точками перетину графіків

Умова

а) Прямая $x - y = 7$ і коло $x^{2} + y^{2} = 169$ .
б) Коло $x^{2} + y^{2} = 25$ і коло $(x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ .

Що треба знати

Відстань між точками перетину прямої та кола знаходять, спочатку знайшовши координати цих точок (розв'язавши систему). Відстань між двома коломи — це відстань між їхніми центрами мінус радіуси (якщо одне всередині іншого) або різниця відстаней до осей тощо, але найпростіше знайти точки перетину, якщо вони є.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для а) вираз $y$ з рівняння прямої і підстав у рівняння кола. Для б) розв'яжи систему рівнянь кіл, щоб знайти координати точок перетину (якщо вони є).

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Система ${x - y = 7 x^{2} + y^{2} = 169$ . З першого рівняння $x = y + 7$ . Підставимо у друге: $(y + 7)^{2} + y^{2} = 169 \Rightarrow y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} = 169 \Rightarrow 2 y^{2} + 14 y - 120 = 0$ . Ділимо на 2: $y^{2} + 7 y - 60 = 0$ . Корені: $D = 49 + 240 = 289$ , $D = 17$ . $y_{1} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12$ , $y_{2} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ . Знаходимо $x$ : якщо $y = - 12$ , то $x = - 5$ ; якщо $y = 5$ , то $x = 12$ . Точки перетину: $(- 5; - 12)$ і $(12; 5)$ . Відстань за формулою: $(12 - (- 5))^{2} + (5 - (- 12))^{2} = 1 7^{2} + 1 7^{2} = 172$ .
Пункт б): Система ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ . Розкриємо дужки у другому рівнянні: $x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 8 y + 16 = 1$ . Підставимо $x^{2} + y^{2} = 25$ : $25 - 8 x - 8 y + 32 = 1 \Rightarrow - 8 x - 8 y = - 56 \Rightarrow x + y = 7$ . Маємо систему ${x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7$ . З другого $y = 7 - x$ . Підставимо: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25 \Rightarrow x^{2} + 49 - 14 x + x^{2} = 25 \Rightarrow 2 x^{2} - 14 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . Корені: $x_{1} = 3, x_{2} = 4$ . Знаходимо $y$ : якщо $x = 3$ , то $y = 4$ ; якщо $x = 4$ , то $y = 3$ . Точки перетину: $(3; 4)$ і $(4; 3)$ . Відстань: $(4 - 3)^{2} + (3 - 4)^{2} = 1 + 1 = 2$ .

Відповідь:

а) $172$ ;
б) $2$ .

Розбір зрозумілий?