Пункт а): Система {a2−0,5b=1a−b=1. З другого рівняння b=a−1. Підставимо в перше: a2−0,5(a−1)=1⇒a2−0,5a+0,5=1⇒a2−0,5a−0,5=0. Помножимо на 2: 2a2−a−1=0. Корені: D=1+8=9, a1=41−3=−0,5, a2=41+3=1. Знаходимо b: якщо a=−0,5, то b=−1,5; якщо a=1, то b=0.
Пункт б): Система {a2+b2−6b=02a+b=0. З другого рівняння b=−2a. Підставимо в перше: a2+(−2a)2−6(−2a)=0⇒a2+4a2+12a=0⇒5a2+12a=0. Корені: a(a+2,4)=0⇒a1=0, a2=−2,4. Знаходимо b: якщо a=0, то b=0; якщо a=−2,4, то b=4,8.
Пункт в): Система {3(a−2)(b+1)=3a−b=3. Скорочуємо перше на 3: (a−2)(b+1)=1. Розкриваємо дужки: ab+a−2b−2=1⇒ab+a−2b=3. Маємо систему {ab+a−2b=3b=a−3. Підставимо b: a(a−3)+a−2(a−3)=3⇒a2−3a+a−2a+6=3⇒a2−4a+3=0. Корені: a1=1, a2=3. Знаходимо b: якщо a=1, то b=−2; якщо a=3, то b=0.
У системах виду {A=CB=C можна прирівняти вирази A=B, щоб отримати рівняння з однієї змінної. Також корисно виразити одну змінну через іншу з лінійного рівняння.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для а) прирівняй a2−0,5b до 1 і a−b до 1, або вираж b з другого рівняння. Для б) вираз b з другого рівняння (b=−2a) і підстав у перше. Для в) прирівняй 3(a−2)(b+1) до a−b=3.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а): Система {a2−0,5b=1a−b=1. З другого рівняння b=a−1. Підставимо в перше: a2−0,5(a−1)=1⇒a2−0,5a+0,5=1⇒a2−0,5a−0,5=0. Помножимо на 2: 2a2−a−1=0. Корені: D=1+8=9, a1=41−3=−0,5, a2=41+3=1. Знаходимо b: якщо a=−0,5, то b=−1,5; якщо a=1, то b=0.
Пункт б): Система {a2+b2−6b=02a+b=0. З другого рівняння b=−2a. Підставимо в перше: a2+(−2a)2−6(−2a)=0⇒a2+4a2+12a=0⇒5a2+12a=0. Корені: a(a+2,4)=0⇒a1=0, a2=−2,4. Знаходимо b: якщо a=0, то b=0; якщо a=−2,4, то b=4,8.
Пункт в): Система {3(a−2)(b+1)=3a−b=3. Скорочуємо перше на 3: (a−2)(b+1)=1. Розкриваємо дужки: ab+a−2b−2=1⇒ab+a−2b=3. Маємо систему {ab+a−2b=3b=a−3. Підставимо b: a(a−3)+a−2(a−3)=3⇒a2−3a+a−2a+6=3⇒a2−4a+3=0. Корені: a1=1, a2=3. Знаходимо b: якщо a=1, то b=−2; якщо a=3, то b=0.
