Завдання 700, § 13. Системи рівнянь другого степеня

Розв’язання крок за кроком

1. Пункт а): Маємо систему $\{\begin{array}{l}3a+4b=8\\ 8ab=8\end{array}$. З другого рівняння дізнаємось, що $ab=1$, звідки $b=\frac{1}{a}$. Підставимо це в перше рівняння: $3a+4\left(\frac{1}{a}\right)=8$. Помножимо на $a$: $3a^2+4=8a$, отже $3a^2-8a+4=0$. Корені: $D=64-48=16$, $a_1=\frac{8-4}{6}=\frac{2}{3}$, $a_2=\frac{8+4}{6}=2$. Знаходимо відповідні $b$: якщо $a=\frac{2}{3}$, то $b=\frac{3}{2}$; якщо $a=2$, то $b=\frac{1}{2}$.

2. Пункт б): Маємо систему $\{\begin{array}{l}{a}^2+ab-5=10\\ b^2+ab=10\end{array}$. Скорочуємо $ab$ у обох рівняннях: $\{\begin{array}{l}{a}^2-5=10\\ b^2=10\end{array}$. Отже, $a^2=15$, $b^2=15$. Розв'язки: $a=\pm \sqrt{15}$, $b=\pm \sqrt{15}$. Перевірка підстановкою в початкове рівняння показує, що знаки мають бути однаковими ($ab>0$).

3. Пункт в): Маємо систему $\{\begin{array}{l}{a}^2+b-2a=-1\\ a+b=-1\end{array}$. З другого рівняння $b=-1-a$. Підставимо в перше: $a^2+(-1-a)-2a=-1$, тобто $a^2-3a=0$. Корені: $a(a-3)=0\Rightarrow a_1=0,a_2=3$. Знаходимо $b$: якщо $a=0$, то $b=-1$; якщо $a=3$, то $b=-4$.