а) Виділимо спільний множник xy(x+y) у другому рівнянні: xy(xy+x+y)=30. З першого рівняння маємо xy+x+y=11. Підставимо це значення: xy⋅11=30, звідки xy=1130. Це не ціле число, перевіримо розкладання. Правильний підхід: Розкладемо друге рівняння як xy(x+y)+xy2+x2y — ні, краще так: x(xy+y)+y(xy+x)? Ні. Правильний шлях: x2y+y2x=xy(x+y). З першого рівняння xy+x+y=11⇒x+y=11−xy. Підставимо у друге: xy(11−xy)=30. Нехай t=xy. Тоді 11t−t2=30⇒t2−11t+30=0. Корені: t1=5,t2=6. Якщо xy=5, то x+y=11−5=6. Розв'язуємо систему {x+y=6xy=5. Корені рівняння z2−6z+5=0: z1=1,z2=5. Відповідь: (1;5),(5;1). Якщо xy=6, то x+y=11−6=5. Розв'язуємо систему {x+y=5xy=6. Корені рівняння z2−5z+6=0: z1=2,z2=3. Відповідь: (2;3),(3;2).
б) Введемо заміну u=x+y і v=x−y. Система набуває вигляду {u2−4u=45,v2−2u=7. З першого рівняння: u2−4u−45=0. Дискримінант D=16+180=196, D=14. u1=24+14=9,u2=24−14=−5. Знайдемо v для кожного u: Якщо u=9, то v2−18=7⇒v2=25⇒v=±5. Якщо u=−5, то v2+10=7⇒v2=−3 (немає дійсних розв'язків). Отже, маємо пари (x+y;x−y): (9;5) та (9;−5). Для (9;5): 2x=14⇒x=7,2y=4⇒y=2. Розв'язок (7;2). Для (9;−5): 2x=4⇒x=2,2y=14⇒y=7. Розв'язок (2;7).
в) Піднесемо обидва рівняння до кубічного кореня (або просто візьмемо корінь): 3x3y3=327⇒xy=3. З другого рівняння маємо x3−y3=26. Використовуємо формулу розкладання різниці кубів: (x−y)(x2+xy+y2)=26. Оскільки xy=3, то x2+3+y2=(x+y)2−2xy=(x+y)2−6. Але краще ввести u=x,v=y або розглянути як систему. Спробуємо підставити y=3/x у друге рівняння: x3−x327=26. Нехай z=x3. z−z27=26⇒z2−26z−27=0. (z−27)(z+1)=0. z1=27,z2=−1. Якщо x3=27, то x=3. Тоді y=3/3=1. Перевірка: 33−13=27−1=26. Правильно. Розв'язок (3;1). Якщо x3=−1, то x=−1. Тоді y=3/(−1)=−3. Перевірка: (−1)3−(−3)3=−1−(−27)=26. Правильно. Розв'язок (−1;−3).
г) Піднесемо перше рівняння до квадрата: (x+y)2=25⇒x+y+2xy=25. З другого рівняння xy=6⇒xy=36. Підставимо у перше: x+y+12=25⇒x+y=13. Розв'язуємо систему {x+y=13xy=36. Корені рівняння z2−13z+36=0: D=169−144=25,z1,2=213±5. z1=9,z2=4. Відповідь: (9;4),(4;9).
Для розв'язання систем часто використовують спосіб підстановки або введення нових змінних (заміни), щоб перетворити рівняння на більш прості. У завданнях а) та б) можна виділити спільні множники або ввести u=x+y та v=xy. У завданні в) корені з обох частин дозволять перейти до системи другого степеня. У завданні г) піднесемо рівняння до квадрата, щоб позбутися коренів.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спробуйте розкласти друге рівняння в пункті а) на множники, використовуючи перше рівняння як спільний чинник. Для пункту б) зробіть заміну u=x+y і v=xy. У пункті в) знайдіть значення добутку xy, а потім розв'яжіть квадратне рівняння для x3 та y3. У пункті г) піднесіть перше рівняння до квадрата і скористайтеся формулою (a+b)2=a2+b2+2ab.
Розв’язання крок за кроком
а) Виділимо спільний множник xy(x+y) у другому рівнянні: xy(xy+x+y)=30. З першого рівняння маємо xy+x+y=11. Підставимо це значення: xy⋅11=30, звідки xy=1130. Це не ціле число, перевіримо розкладання. Правильний підхід: Розкладемо друге рівняння як xy(x+y)+xy2+x2y — ні, краще так: x(xy+y)+y(xy+x)? Ні. Правильний шлях: x2y+y2x=xy(x+y). З першого рівняння xy+x+y=11⇒x+y=11−xy. Підставимо у друге: xy(11−xy)=30. Нехай t=xy. Тоді 11t−t2=30⇒t2−11t+30=0. Корені: t1=5,t2=6. Якщо xy=5, то x+y=11−5=6. Розв'язуємо систему {x+y=6xy=5. Корені рівняння z2−6z+5=0: z1=1,z2=5. Відповідь: (1;5),(5;1). Якщо xy=6, то x+y=11−6=5. Розв'язуємо систему {x+y=5xy=6. Корені рівняння z2−5z+6=0: z1=2,z2=3. Відповідь: (2;3),(3;2).
б) Введемо заміну u=x+y і v=x−y. Система набуває вигляду {u2−4u=45,v2−2u=7. З першого рівняння: u2−4u−45=0. Дискримінант D=16+180=196, D=14. u1=24+14=9,u2=24−14=−5. Знайдемо v для кожного u: Якщо u=9, то v2−18=7⇒v2=25⇒v=±5. Якщо u=−5, то v2+10=7⇒v2=−3 (немає дійсних розв'язків). Отже, маємо пари (x+y;x−y): (9;5) та (9;−5). Для (9;5): 2x=14⇒x=7,2y=4⇒y=2. Розв'язок (7;2). Для (9;−5): 2x=4⇒x=2,2y=14⇒y=7. Розв'язок (2;7).
в) Піднесемо обидва рівняння до кубічного кореня (або просто візьмемо корінь): 3x3y3=327⇒xy=3. З другого рівняння маємо x3−y3=26. Використовуємо формулу розкладання різниці кубів: (x−y)(x2+xy+y2)=26. Оскільки xy=3, то x2+3+y2=(x+y)2−2xy=(x+y)2−6. Але краще ввести u=x,v=y або розглянути як систему. Спробуємо підставити y=3/x у друге рівняння: x3−x327=26. Нехай z=x3. z−z27=26⇒z2−26z−27=0. (z−27)(z+1)=0. z1=27,z2=−1. Якщо x3=27, то x=3. Тоді y=3/3=1. Перевірка: 33−13=27−1=26. Правильно. Розв'язок (3;1). Якщо x3=−1, то x=−1. Тоді y=3/(−1)=−3. Перевірка: (−1)3−(−3)3=−1−(−27)=26. Правильно. Розв'язок (−1;−3).
г) Піднесемо перше рівняння до квадрата: (x+y)2=25⇒x+y+2xy=25. З другого рівняння xy=6⇒xy=36. Підставимо у перше: x+y+12=25⇒x+y=13. Розв'язуємо систему {x+y=13xy=36. Корені рівняння z2−13z+36=0: D=169−144=25,z1,2=213±5. z1=9,z2=4. Відповідь: (9;4),(4;9).
