Завдання 696, § 13. Системи рівнянь другого степеня

$(x;y)=(4;-3)$ або $(-3;4)$.

2. б) Позначимо $u=xy$. Тоді система набуває вигляду $\{\begin{array}{l}{u}^2+u=72\\ x+y=6\end{array}$.
Розв'язуємо квадратне рівняння відносно $u$: $u^2+u-72=0\Rightarrow (u+9)(u-8)=0\Rightarrow u_1=-9,u_2=8$.
Якщо $xy=8$ і $x+y=6$, то $z^2-6z+8=0\Rightarrow z_1=4,z_2=2$. Відповідь: $(4;2),(2;4)$.
Якщо $xy=-9$ і $x+y=6$, то $z^2-6z-9=0\Rightarrow D=36+36=72$. Корені $z=\frac{6\pm 6\sqrt{2}}{2}=3\pm 3\sqrt{2}$. Відповідь: $(3+3\sqrt{2};3-3\sqrt{2}),(3-3\sqrt{2};3+3\sqrt{2})$.

3. в) Позначимо $u=x^3,v=y^3$. Система: $\{\begin{array}{l}uv=-8\\ u+v=-7\end{array}$.
Квадратне рівняння $z^2-(-7)z+(-8)=0\Rightarrow z^2+7z-8=0\Rightarrow (z+8)(z-1)=0$.
Корені: $u_1=-8,u_2=1$.
Якщо $x^3=-8$, то $x=-2$. Тоді $y^3=1\Rightarrow y=1$. Відповідь: $(-2;1)$.
Якщо $x^3=1$, то $x=1$. Тоді $y^3=-8\Rightarrow y=-2$. Відповідь: $(1;-2)$.

4. г) Піднесемо перше рівняння до квадрату: $x+y+2\sqrt{xy}=9$. З другого рівняння $\sqrt{xy}=2$, отже $xy=4$.
Підставимо у вираз: $x+y+4=9\Rightarrow x+y=5$.
Розв'язуємо $z^2-5z+4=0\Rightarrow z_1=1,z_2=4$. Відповідь: $(1;4),(4;1)$.