Завдання 695, § 13. Системи рівнянь другого степеня

Розв’язання крок за кроком

1. Для пункту а): З другого рівняння $x^2=4xy$. Якщо $x\ne 0$, то $x=4y$. Підставимо в перше: $4y+y=10\Rightarrow 5y=10\Rightarrow y=2$. Тоді $x=8$. Перевірка: $8^2=64,4\cdot 8\cdot 2=64$ — підходить. Якщо $x=0$, то з першого рівняння $y=10$, але $0=0$ (справджується), отже $(0;10)$ також розв'язок? Перевіримо друге: $0^2=4\cdot 0\cdot 10\Rightarrow 0=0$. Так, це розв'язок.

2. Для пункту б): Введемо заміну $k=\frac{x}{y}$. Тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{k}$. Рівняння: $k+\frac{1}{k}=2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$.

3. Помножимо на $6k$: $6k^2+6=13k\Rightarrow 6k^2-13k+6=0$.

4. Дискримінант: $D=169-144=25$, $\sqrt{D}=5$. Корені: $k_1=\frac{13+5}{12}=\frac{18}{12}=1,5=\frac{3}{2}$, $k_2=\frac{13-5}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

5. Знаходимо пари $(x,y)$:
   Якщо $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=1,5y$. Підставимо в $x+y=10$: $2,5y=10\Rightarrow y=4,x=6$.
   Якщо $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}y$. Підставимо: $\frac{5}{3}y=10\Rightarrow y=6,x=4$.