Завдання 694, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 694

Система Фібоначчі

а) ${x + y = 12, \frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2};$
б) ${x + y = 10, (\frac{x}{y} + 10) (\frac{y}{x} + 10) = 122 \frac{2}{3} .$

Розв’язання

Для пункту а): Введемо заміну $t = x - y$ . Тоді система набуває вигляду ${x + y = 12, x y = 4, 5 t$ і ${x - y = t .$ .
Знайдемо $x$ та $y$ як корені квадратного рівняння $z^{2} - (x + y) z + x y = 0$ , тобто $z^{2} - 12 z + 4, 5 t = 0$ .
Також маємо $x - y = t$ . Підставимо $y = x - t$ у перше рівняння: $2 x - t = 12 \Rightarrow x = \frac{12 + t}{2}, y = \frac{12 - t}{2}$ .
Підставимо вирази для $x, y$ у друге рівняння: $\frac{\frac{12 + t}{2} \cdot \frac{12 - t}{2}}{t} = 4, 5 \Rightarrow \frac{144 - t ^{2}}{4 t} = 4, 5 \Rightarrow 144 - t^{2} = 18 t \Rightarrow t^{2} + 18 t - 144 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 324 + 576 = 900$ , $D = 30$ . Корені: $t_{1} = \frac{- 18 + 30}{2} = 6$ , $t_{2} = \frac{- 18 - 30}{2} = - 24$ .
Знаходимо відповідні пари $(x, y)$ :
Якщо $t = 6$ : $x = \frac{18}{2} = 9, y = \frac{6}{2} = 3$ . Перевірка: $x y = 27$ , $\frac{27}{6} = 4, 5$ — правильно.
Якщо $t = - 24$ : $x = \frac{- 12}{2} = - 6, y = \frac{- 36}{2} = - 18$ . Перевірка: $x y = 108$ , $\frac{108}{- 24} = - 4, 5 \neq = 4, 5$ — не підходить (знак мінус у знаменнику).
Примітка: У умові дріб $\frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2}$ позитивний. Якщо $t = - 24$ , то $x - y = - 24$ (від'ємне), а $x y = 108$ (додатнє). Дріб буде від'ємним. Отже, тільки один розв'язок.
Для пункту б): Введемо заміну $u = \frac{x}{y} + 10$ . Тоді $\frac{y}{x} + 10 = \frac{1}{u - 10} + 10$ ? Ні, простіше: нехай $a = \frac{x}{y}$ , тоді $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$ . Система: $x + y = 10$ , $(a + 10) (\frac{1}{a} + 10) = 122 \frac{2}{3}$ .
Розкриваємо дужки: $1 + 100 a + \frac{10}{a} + 100 = 122 \frac{2}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = 22 \frac{2}{3} - 1 = 21 \frac{2}{3}$ .
Нехай $k = a + \frac{1}{a}$ . Тоді $100 k = \frac{67}{3} \Rightarrow k = \frac{67}{300}$ . Це мале число, але $a + \frac{1}{a}$ для дійсних $a$ має бути $\geq 2$ або $\leq - 2$ . Тут $k < 2$ , отже дійсних розв'язків немає.
Перевірка обчислень: $122 \frac{2}{3} = \frac{368}{3}$ . $1 + 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{368}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{365}{3} \Rightarrow a + \frac{1}{a} = \frac{365}{300} = \frac{73}{60} \approx 1, 2$ . Оскільки $x + y = 10$ , то $x, y$ додатні (якщо один від'ємний, інший більший за модуль, але добуток може бути від'ємним). Якщо $a + \frac{1}{a} < 2$ , дійсних $a$ немає.
Отже, розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(9; 3)$ ; б) розв'язків немає.

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 694 с. 139

Система Фібоначчі

Умова

а) ${x + y = 12, \frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2};$
б) ${x + y = 10, (\frac{x}{y} + 10) (\frac{y}{x} + 10) = 122 \frac{2}{3} .$

Що треба знати

Для розв'язання системи з дробовим виразом $\frac{x y}{x - y}$ можна ввести заміну $t = x - y$ , тоді $x + y = 12$ і $x y = 4, 5 t$ . Система перетворюється на квадратне рівняння.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуйте вивести формулу для суми та добутку змінних через нову змінну $t = x - y$ .

Розв’язання крок за кроком

Для пункту а): Введемо заміну $t = x - y$ . Тоді система набуває вигляду ${x + y = 12, x y = 4, 5 t$ і ${x - y = t .$ .
Знайдемо $x$ та $y$ як корені квадратного рівняння $z^{2} - (x + y) z + x y = 0$ , тобто $z^{2} - 12 z + 4, 5 t = 0$ .
Також маємо $x - y = t$ . Підставимо $y = x - t$ у перше рівняння: $2 x - t = 12 \Rightarrow x = \frac{12 + t}{2}, y = \frac{12 - t}{2}$ .
Підставимо вирази для $x, y$ у друге рівняння: $\frac{\frac{12 + t}{2} \cdot \frac{12 - t}{2}}{t} = 4, 5 \Rightarrow \frac{144 - t ^{2}}{4 t} = 4, 5 \Rightarrow 144 - t^{2} = 18 t \Rightarrow t^{2} + 18 t - 144 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 324 + 576 = 900$ , $D = 30$ . Корені: $t_{1} = \frac{- 18 + 30}{2} = 6$ , $t_{2} = \frac{- 18 - 30}{2} = - 24$ .
Знаходимо відповідні пари $(x, y)$ :
Якщо $t = 6$ : $x = \frac{18}{2} = 9, y = \frac{6}{2} = 3$ . Перевірка: $x y = 27$ , $\frac{27}{6} = 4, 5$ — правильно.
Якщо $t = - 24$ : $x = \frac{- 12}{2} = - 6, y = \frac{- 36}{2} = - 18$ . Перевірка: $x y = 108$ , $\frac{108}{- 24} = - 4, 5 \neq = 4, 5$ — не підходить (знак мінус у знаменнику).
Примітка: У умові дріб $\frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2}$ позитивний. Якщо $t = - 24$ , то $x - y = - 24$ (від'ємне), а $x y = 108$ (додатнє). Дріб буде від'ємним. Отже, тільки один розв'язок.
Для пункту б): Введемо заміну $u = \frac{x}{y} + 10$ . Тоді $\frac{y}{x} + 10 = \frac{1}{u - 10} + 10$ ? Ні, простіше: нехай $a = \frac{x}{y}$ , тоді $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$ . Система: $x + y = 10$ , $(a + 10) (\frac{1}{a} + 10) = 122 \frac{2}{3}$ .
Розкриваємо дужки: $1 + 100 a + \frac{10}{a} + 100 = 122 \frac{2}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = 22 \frac{2}{3} - 1 = 21 \frac{2}{3}$ .
Нехай $k = a + \frac{1}{a}$ . Тоді $100 k = \frac{67}{3} \Rightarrow k = \frac{67}{300}$ . Це мале число, але $a + \frac{1}{a}$ для дійсних $a$ має бути $\geq 2$ або $\leq - 2$ . Тут $k < 2$ , отже дійсних розв'язків немає.
Перевірка обчислень: $122 \frac{2}{3} = \frac{368}{3}$ . $1 + 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{368}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{365}{3} \Rightarrow a + \frac{1}{a} = \frac{365}{300} = \frac{73}{60} \approx 1, 2$ . Оскільки $x + y = 10$ , то $x, y$ додатні (якщо один від'ємний, інший більший за модуль, але добуток може бути від'ємним). Якщо $a + \frac{1}{a} < 2$ , дійсних $a$ немає.
Отже, розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(9; 3)$ ; б) розв'язків немає.

Розбір зрозумілий?