Завдання 685, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 685

Розв'язання систем рівнянь

а) ${y = 1 - 2 x - x^{2}, ∣ x + 2∣ - y = 0;$
б) ${x^{2} + y^{2} = 9, x y = 3;$
в) ${Δ - y = 0, y - □ = 0.$ (Умова містить знаки замість чисел).

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння $y = ∣ x + 2∣$ . Підставимо у перше: $∣ x + 2∣ = 1 - 2 x - x^{2}$ .
Розглянемо випадок $x \geq - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = x + 2$ ): $x + 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + 3 x + 1 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 - 4 = 5$ , корені $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ . Обидва корені більші за $- 2$ (оскільки $5 \approx 2.2$ , тобто $- 3 + 2.2 = - 0.8 > - 2$ ).
Знайдемо $y$ : $y = x + 2$ .
Розглянемо випадок $x < - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ ): $- (x + 2) = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow - x - 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + x - 3 = 0$ .
Корені $x = \frac{- 1 \pm 13}{2}$ . $13 \approx 3.6$ , отже $- 1 - 3.6 = - 4.6 < - 2$ (підходить), а $- 1 + 3.6 > - 2$ (не підходить).
Розв'язуємо систему б):
Додамо рівняння після множення другого на 2: $x^{2} + y^{2} = 9$ та $2 x y = 6$ . Це не допомагає напряму.
Спробуємо підстановку: $y = \frac{3}{x}$ . Підставимо у перше: $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} = 9$ .
Помножимо на $x^{2}$ : $x^{4} - 9 x^{2} + 9 = 0$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t^{2} - 9 t + 9 = 0$ .
Корені $t = \frac{9 \pm 81 - 36}{2} = \frac{9 \pm 45}{2} = \frac{9 \pm 3 5}{2}$ .
Оскільки $t = x^{2} \geq 0$ , обидва корені підходять. Звідси знайдемо $x$ і $y$ .

Відповідь:

а) Чотири розв'язки (два з $x \geq - 2$ та один з $x < - 2$ , другий корінь другого випадку відкидається).
б) Чотири розв'язки ( $\pm t_{1}, \pm t_{2}$ з відповідними $y$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 685 с. 138

Розв'язання систем рівнянь

Умова

а) ${y = 1 - 2 x - x^{2}, ∣ x + 2∣ - y = 0;$
б) ${x^{2} + y^{2} = 9, x y = 3;$
в) ${Δ - y = 0, y - □ = 0.$ (Умова містить знаки замість чисел).

Що треба знати

Для системи а) підставимо вираз для $y$ з другого рівняння у перше. Для системи б) використаємо метод додавання або віднімання, щоб спростити систему до вигляду ${x^{2} + y^{2} = 9 x y = 3$ , що дозволяє знайти $x + y$ або $x - y$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для а): виразіть $y$ з другого рівняння як $y = ∣ x + 2∣$ і підставте у перше. Для б): додайте або віднімайте рівняння, щоб отримати квадрат суми або різниці змінних.

Розв’язання крок за кроком

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння $y = ∣ x + 2∣$ . Підставимо у перше: $∣ x + 2∣ = 1 - 2 x - x^{2}$ .
Розглянемо випадок $x \geq - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = x + 2$ ): $x + 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + 3 x + 1 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 - 4 = 5$ , корені $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ . Обидва корені більші за $- 2$ (оскільки $5 \approx 2.2$ , тобто $- 3 + 2.2 = - 0.8 > - 2$ ).
Знайдемо $y$ : $y = x + 2$ .
Розглянемо випадок $x < - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ ): $- (x + 2) = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow - x - 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + x - 3 = 0$ .
Корені $x = \frac{- 1 \pm 13}{2}$ . $13 \approx 3.6$ , отже $- 1 - 3.6 = - 4.6 < - 2$ (підходить), а $- 1 + 3.6 > - 2$ (не підходить).
Розв'язуємо систему б):
Додамо рівняння після множення другого на 2: $x^{2} + y^{2} = 9$ та $2 x y = 6$ . Це не допомагає напряму.
Спробуємо підстановку: $y = \frac{3}{x}$ . Підставимо у перше: $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} = 9$ .
Помножимо на $x^{2}$ : $x^{4} - 9 x^{2} + 9 = 0$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t^{2} - 9 t + 9 = 0$ .
Корені $t = \frac{9 \pm 81 - 36}{2} = \frac{9 \pm 45}{2} = \frac{9 \pm 3 5}{2}$ .
Оскільки $t = x^{2} \geq 0$ , обидва корені підходять. Звідси знайдемо $x$ і $y$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?