а) {x2+y2=4,∣x∣−y=0; б) {y=x2+2x,y=x+3; в) {Δ+∗=6,xy=□. (Умова містить знаки замість чисел).
Розв’язання
Аналізуємо систему а): Рівняння x2+y2=4 описує коло з центром у початку координат і радіусом R=2. Рівняння ∣x∣−y=0 еквівалентне y=∣x∣, що є графіком двох променів: y=x (x≥0) та y=−x (x<0). Прямі y=±x перетинають коло у чотирьох точках.
Аналізуємо систему б): Рівняння y=x2+2x описує параболу з вершиною в точці (−1;−1), що проходить через початок координат (0;0). Рівняння y=x+3 визначає гілку гіперболи, яка починається від точки (−3;0) і йде вгору. Парабола та ця гілка перетинаються у двох точках (одна точка лежить на відрізку x∈[−3;−1], інша — при x>−1).
Відповідь:
а) 4 розв'язки б) 2 розв'язки
Розбір зрозумілий?
§ 13. Системи рівнянь другого степеняЗавдання 684с. 138
Визначення кількості розв'язків графічно
Умова
а) {x2+y2=4,∣x∣−y=0; б) {y=x2+2x,y=x+3; в) {Δ+∗=6,xy=□. (Умова містить знаки замість чисел).
Що треба знати
Кількість розв'язків системи дорівнює кількості точок перетину графіків рівнянь. Перше рівняння в а) — це коло, друге — пара прямих через початок координат. Друге рівняння в б) — парабола, третє — гілка гіперболи або півгіперболи (корінь визначає область).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для а): намалюйте коло радіуса 2 та прямі y=x і y=−x. Порахуйте точки перетину. Для б): намалюйте параболу, що проходить через початок координат, та графік функції з коренем (визначте область визначення).
Розв’язання крок за кроком
Аналізуємо систему а): Рівняння x2+y2=4 описує коло з центром у початку координат і радіусом R=2. Рівняння ∣x∣−y=0 еквівалентне y=∣x∣, що є графіком двох променів: y=x (x≥0) та y=−x (x<0). Прямі y=±x перетинають коло у чотирьох точках.
Аналізуємо систему б): Рівняння y=x2+2x описує параболу з вершиною в точці (−1;−1), що проходить через початок координат (0;0). Рівняння y=x+3 визначає гілку гіперболи, яка починається від точки (−3;0) і йде вгору. Парабола та ця гілка перетинаються у двох точках (одна точка лежить на відрізку x∈[−3;−1], інша — при x>−1).
