Завдання 683, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 683

Розв'язання систем рівнянь

а) ${y = x - 4, 3 y - x + 2 = 0;$
б) ${y = 2 + 2 x - x^{2}, y = 2 - ∣ x ∣;$
в) ${Δ + * = 0, x^{2} + y = □ .$ (Умова містить знаки замість чисел, які неможливо розшифрувати без зображення).

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння виразимо $x$ : $x = 3 y + 2$ .
Підставимо у перше рівняння: $y = 3 y + 2 - 4 \Rightarrow y = 3 y - 2$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи, що $y \geq 0$ ): $y^{2} = 3 y - 2 \Rightarrow y^{2} - 3 y + 2 = 0$ .
Знайдемо корені: $(y - 1) (y - 2) = 0$ , отже $y_{1} = 1, y_{2} = 2$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 1$ , то $x = 3 (1) + 2 = 5$ . Перевірка: $5 - 4 = 1$ (підходить).
Якщо $y = 2$ , то $x = 3 (2) + 2 = 8$ . Перевірка: $8 - 4 = 2$ (підходить).
Розв'язуємо систему б):
Прирівняємо праві частини рівнянь: $2 + 2 x - x^{2} = 2 - ∣ x ∣$ .
Спростимо: $2 x - x^{2} = - ∣ x ∣ \Rightarrow x^{2} - 2 x - ∣ x ∣ = 0$ .
Розглянемо випадок $x \geq 0$ (тоді $∣ x ∣ = x$ ): $x^{2} - 2 x - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x (x - 3) = 0$ .
Корені: $x_{1} = 0, x_{2} = 3$ . Знайдемо $y$ : для $x = 0, y = 2$ ; для $x = 3, y = 2 + 6 - 9 = - 1$ .
Розглянемо випадок $x < 0$ (тоді $∣ x ∣ = - x$ ): $x^{2} - 2 x - (- x) = 0 \Rightarrow x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (x - 1) = 0$ .
Корені: $x = 0$ (не підходить, бо $x < 0$ ), $x = 1$ (не підходить). Отже, розв'язків у цьому випадку немає.

Відповідь:

а) $(5; 1); (8; 2)$
б) $(0; 2); (3; - 1)$

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 683 с. 138

Розв'язання систем рівнянь

Умова

Що треба знати

Для першого рівняння системи а) підставимо вираз для $y$ у друге рівняння і розв'яжемо квадратне рівняння. Для системи б) використаємо спосіб додавання або віднімання, враховуючи модуль та квадратичну функцію.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а): виразіть $x$ з другого рівняння ( $x = 3 y + 2$ ) і підставте у перше, щоб знайти допустимі значення $y$ . Для пункту б): розгляньте випадки для модуля $∣ x ∣$ (якщо $x \geq 0$ та якщо $x < 0$ ).

Розв’язання крок за кроком

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння виразимо $x$ : $x = 3 y + 2$ .
Підставимо у перше рівняння: $y = 3 y + 2 - 4 \Rightarrow y = 3 y - 2$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи, що $y \geq 0$ ): $y^{2} = 3 y - 2 \Rightarrow y^{2} - 3 y + 2 = 0$ .
Знайдемо корені: $(y - 1) (y - 2) = 0$ , отже $y_{1} = 1, y_{2} = 2$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 1$ , то $x = 3 (1) + 2 = 5$ . Перевірка: $5 - 4 = 1$ (підходить).
Якщо $y = 2$ , то $x = 3 (2) + 2 = 8$ . Перевірка: $8 - 4 = 2$ (підходить).
Розв'язуємо систему б):
Прирівняємо праві частини рівнянь: $2 + 2 x - x^{2} = 2 - ∣ x ∣$ .
Спростимо: $2 x - x^{2} = - ∣ x ∣ \Rightarrow x^{2} - 2 x - ∣ x ∣ = 0$ .
Розглянемо випадок $x \geq 0$ (тоді $∣ x ∣ = x$ ): $x^{2} - 2 x - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x (x - 3) = 0$ .
Корені: $x_{1} = 0, x_{2} = 3$ . Знайдемо $y$ : для $x = 0, y = 2$ ; для $x = 3, y = 2 + 6 - 9 = - 1$ .
Розглянемо випадок $x < 0$ (тоді $∣ x ∣ = - x$ ): $x^{2} - 2 x - (- x) = 0 \Rightarrow x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (x - 1) = 0$ .
Корені: $x = 0$ (не підходить, бо $x < 0$ ), $x = 1$ (не підходить). Отже, розв'язків у цьому випадку немає.

Відповідь:

а) $(5; 1); (8; 2)$
б) $(0; 2); (3; - 1)$

Розбір зрозумілий?