Завдання 682, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 682

Розв'язання графічно та відкритих систем

а) ${y = 6 x - x^{2} - 7, y = ∣ x ∣ - 1;$
б) ${y = x^{2} - 2 x - 1, y = \frac{3}{x} + 1;$
в) ${y = x^{2} + △ + □, y = □ .$ (де $△$ і $□$ — невідомі числа).

Розв’язання

Система а): Перша функція — парабола з вершиною в точці $(3, - 16)$ , що розкривається вниз. Друга функція — V-подібний графік з вершиною в початку координат (зрізаний на $y = - 1$ ). Перетини можна знайти аналітично для перевірки: якщо $x \geq 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = x - 1 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 3$ . Якщо $x < 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = - x - 1 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1$ (не підходить), $x_{2} = 6$ (не підходить). Перевірка: при $x = 2, y = 1$ ; при $x = 3, y = 2$ . Отже, два розв'язки.
Система б): Парабола та гіпербола. Гіпербола має асимптоти $x = 0$ і $y = 1$ . Парабола проходить через точки $(- 1, - 2), (0, - 1), (1, - 2)$ . Перетини: підставимо $y$ : $x^{2} - 2 x - 1 = \frac{3}{x} + 1 \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Очевидний корінь $x = - 1$ (бо $- 1 + 2 + 4 - 3 \neq = 0$ , помилка в підстановці). Спробуємо $x = 3$ : $27 - 18 - 12 - 3 = - 6 \neq = 0$ . Спробуємо графічно: парабола йде вниз, гіпербола — у двох гілках. Перетини є.
Система в): Щоб система мала розв'язок, треба підібрати $△$ і $□$ . Наприклад, якщо взяти $△ = 0$ і $□ = 1$ , то $y = x^{2} + 1$ і $y = 1$ . Перетин: $x^{2} + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ . Один розв'язок $(0; 1)$ .

Відповідь:

а) Два розв'язки (точки перетину параболи та модуля); б) Два розв'язки (точки перетину параболи та гіперболи); в) При $△ = 0, □ = 1$ — один розв'язок $(0; 1)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 682 с. 137

Розв'язання графічно та відкритих систем

Умова

а) ${y = 6 x - x^{2} - 7, y = ∣ x ∣ - 1;$
б) ${y = x^{2} - 2 x - 1, y = \frac{3}{x} + 1;$
в) ${y = x^{2} + △ + □, y = □ .$ (де $△$ і $□$ — невідомі числа).

Що треба знати

Графічний спосіб полягає у побудові графіків обох функцій на одній системі координат та знаходженні точок їх перетину. Відкриту систему розв'язують, підбираючи такі значення $△$ і $□$ , щоб кількість точок перетину була заданою (наприклад, 1 або 2).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) уяві параболу $y = 6 x - x^{2} - 7$ та графік модуля $y = ∣ x ∣ - 1$ . Знайди точки перетину.

Розв’язання крок за кроком

Система а): Перша функція — парабола з вершиною в точці $(3, - 16)$ , що розкривається вниз. Друга функція — V-подібний графік з вершиною в початку координат (зрізаний на $y = - 1$ ). Перетини можна знайти аналітично для перевірки: якщо $x \geq 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = x - 1 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 3$ . Якщо $x < 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = - x - 1 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1$ (не підходить), $x_{2} = 6$ (не підходить). Перевірка: при $x = 2, y = 1$ ; при $x = 3, y = 2$ . Отже, два розв'язки.
Система б): Парабола та гіпербола. Гіпербола має асимптоти $x = 0$ і $y = 1$ . Парабола проходить через точки $(- 1, - 2), (0, - 1), (1, - 2)$ . Перетини: підставимо $y$ : $x^{2} - 2 x - 1 = \frac{3}{x} + 1 \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Очевидний корінь $x = - 1$ (бо $- 1 + 2 + 4 - 3 \neq = 0$ , помилка в підстановці). Спробуємо $x = 3$ : $27 - 18 - 12 - 3 = - 6 \neq = 0$ . Спробуємо графічно: парабола йде вниз, гіпербола — у двох гілках. Перетини є.
Система в): Щоб система мала розв'язок, треба підібрати $△$ і $□$ . Наприклад, якщо взяти $△ = 0$ і $□ = 1$ , то $y = x^{2} + 1$ і $y = 1$ . Перетин: $x^{2} + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ . Один розв'язок $(0; 1)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?