Завдання 679, § 13. Системи рівнянь другого степеня

Розв’язання крок за кроком

1. а) 1. З другого рівняння виразимо $x$: $x=y+2$.

2. Підставимо в перше рівняння: $(y+2)y-y=42\Rightarrow y^2+2y-y=42\Rightarrow y^2+y-42=0$.

3. Знайдемо корені квадратного тричлена: $D=1-4\cdot 1\cdot (-42)=173$ (не є повним квадратом). Перевіримо ще раз умову: $xy-y=42\Rightarrow y(x-1)=42$. З другого рівняння $x=y+2$, отже $y(y+2-1)=42\Rightarrow y^2+y-42=0$. Корені не цілі, але в шкільних задачах зазвичай виходять цілі числа. Перевіримо обчислення: $D=1+168=169$, $\sqrt{169}=13$.

4. $y_1=\frac{-1-13}{2}=-7$, $y_2=\frac{-1+13}{2}=6$. Знайдемо $x$: якщо $y=-7$, то $x=1$; якщо $y=6$, то $x=8$.

5. Відповідь: $(1;-7)$ і $(8;6)$.

   б) 1. З другого рівняння виразимо $x$: $x=y+2$.

6. Підставимо в перше рівняння: $(y+2)y-(y+2)=40\Rightarrow y^2+2y-y-2=40\Rightarrow y^2+y-42=0$.

7. Знайдемо корені: $y_1=-7,y_2=6$.

8. Знайдемо відповідні $x$: якщо $y=-7$, то $x=1$; якщо $y=6$, то $x=8$.

9. Відповідь: $(1;-7)$ і $(8;6)$.