Завдання 678, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 678

Задачі Діофанта

Розв'язати системи рівнянь.
а) ${x + y = 10, x^{2} + y^{2} = 68;$
б) ${x + y = 20, x^{2} - y^{2} = 80.$

Розв’язання

а) 1. Піднесемо перше рівняння до квадрату: $(x + y)^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y = 100$ .
Підставимо значення $x^{2} + y^{2} = 68$ : $68 + 2 x y = 100 \Rightarrow 2 x y = 32 \Rightarrow x y = 16$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 10, x y = 16.$ Корені рівняння $t^{2} - 10 t + 16 = 0$ це $t_{1} = 2, t_{2} = 8$ .
Відповідь: $(2; 8)$ і $(8; 2)$ .
б) 1. Скористаємося формулою різниці квадратів: $(x - y) (x + y) = 80$ .
Підставимо $x + y = 20$ : $(x - y) \cdot 20 = 80 \Rightarrow x - y = 4$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 20, x - y = 4.$ Додамо рівняння: $2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ . Віднімемо: $2 y = 16 \Rightarrow y = 8$ .
Відповідь: $(12; 8)$ .

Відповідь:

а) $(2; 8), (8; 2)$ ; б) $(12; 8)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 678 с. 137

Задачі Діофанта

Умова

Розв'язати системи рівнянь.
а) ${x + y = 10, x^{2} + y^{2} = 68;$
б) ${x + y = 20, x^{2} - y^{2} = 80.$

Що треба знати

Для системи а використаємо формулу $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ . Для системи б скористаємося формулою різниці квадратів $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У першій системі знайдіть добуток $x y$ , а потім розв'яжіть рівняння ${x + y = 10, x y = \dots$ . У другій системі знайдіть різницю $x - y$ і розв'яжіть систему лінійних рівнянь.

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Піднесемо перше рівняння до квадрату: $(x + y)^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y = 100$ .
Підставимо значення $x^{2} + y^{2} = 68$ : $68 + 2 x y = 100 \Rightarrow 2 x y = 32 \Rightarrow x y = 16$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 10, x y = 16.$ Корені рівняння $t^{2} - 10 t + 16 = 0$ це $t_{1} = 2, t_{2} = 8$ .
Відповідь: $(2; 8)$ і $(8; 2)$ .
б) 1. Скористаємося формулою різниці квадратів: $(x - y) (x + y) = 80$ .
Підставимо $x + y = 20$ : $(x - y) \cdot 20 = 80 \Rightarrow x - y = 4$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 20, x - y = 4.$ Додамо рівняння: $2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ . Віднімемо: $2 y = 16 \Rightarrow y = 8$ .
Відповідь: $(12; 8)$ .

Відповідь:

а) $(2; 8), (8; 2)$ ; б) $(12; 8)$ .

Розбір зрозумілий?