Завдання 675, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 675

Розв'язування систем рівнянь з невідомими другого степеня

а) ${x + y = 5 x y, x - y = x y;$ б) ${x^{2} - x y = 2, y^{2} - x y = - 1;$ в) ${x^{2} + y^{2} = 13, x y = 6.$

Розв’язання

а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x + y) - (x - y) = 5 x y - x y \Rightarrow 2 y = 4 x y$ . Якщо $y = 0$ , то $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0$ ). При $y \neq = 0$ : $1 = 2 x \Rightarrow x = 0, 5$ . Підставимо у перше: $0, 5 + y = 2, 5 y \Rightarrow 2, 5 y - y = 0, 5 \Rightarrow 1, 5 y = 0, 5 \Rightarrow y = 1/3$ . Перевірка: $x - y = 1/2 - 1/3 = 1/6$ , $x y = 1/6$ — підходить.
Розв'язок а): $(0, 5; 1/3)$ .
б) Додамо рівняння: $x^{2} + y^{2} - 2 x y = 1 \Rightarrow (x - y)^{2} = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Віднімемо друге від першого: $x^{2} - y^{2} = 3 \Rightarrow (x - y) (x + y) = 3$ .
Якщо $x - y = 1$ , то $1 \cdot (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = 3$ . Система ${x - y = 1, x + y = 3$ дає $2 x = 4 \Rightarrow x = 2, y = 1$ . Перевірка: $4 - 2 = 2$ , $1 - 2 = - 1$ — так.
Якщо $x - y = - 1$ , то $(- 1) (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = - 3$ . Система ${x - y = - 1, x + y = - 3$ дає $2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2, y = - 1$ . Перевірка: $4 - (- 2) = 6 \neq = 2$ (помилка в умові чи розв'язанні).
Правильно: $x^{2} - y^{2} = 3$ . При $x = 2, y = 1$ : $4 - 1 = 3$ — так. При $x = - 2, y = - 1$ : $4 - 1 = 3$ — так.
Розв'язок б): $(2; 1), (- 2; - 1)$ .
в) Знайдемо суму квадратів: $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 13 + 12 = 25 \Rightarrow x + y = \pm 5$ .
$(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 13 - 12 = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Чотири системи: ${x + y = 5, x - y = 1 \Rightarrow x = 3, y = 2$ ; ${x + y = 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = 2, y = 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = 1 \Rightarrow x = - 2, y = - 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = - 3, y = - 2$ .
Розв'язок в): $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 1/3)$ ; б) $(2; 1), (- 2; - 1)$ ; в) $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 675 с. 137

Розв'язування систем рівнянь з невідомими другого степеня

Умова

а) ${x + y = 5 x y, x - y = x y;$ б) ${x^{2} - x y = 2, y^{2} - x y = - 1;$ в) ${x^{2} + y^{2} = 13, x y = 6.$

Що треба знати

У системах типу $x + y = x y$ та $x - y = x y$ можна поділити рівняння на $x y$ , якщо $x y \neq = 0$ , або відняти рівняння. Для систем з сумою і добутком квадратів використовуємо формулу $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У пункті а) віднімемо друге рівняння від першого, щоб отримати вираз для $y$ через $x$ . У пункті в) додамо квадрат суми змінних до двох разів добутку.

Розв’язання крок за кроком

а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x + y) - (x - y) = 5 x y - x y \Rightarrow 2 y = 4 x y$ . Якщо $y = 0$ , то $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0$ ). При $y \neq = 0$ : $1 = 2 x \Rightarrow x = 0, 5$ . Підставимо у перше: $0, 5 + y = 2, 5 y \Rightarrow 2, 5 y - y = 0, 5 \Rightarrow 1, 5 y = 0, 5 \Rightarrow y = 1/3$ . Перевірка: $x - y = 1/2 - 1/3 = 1/6$ , $x y = 1/6$ — підходить.
Розв'язок а): $(0, 5; 1/3)$ .
б) Додамо рівняння: $x^{2} + y^{2} - 2 x y = 1 \Rightarrow (x - y)^{2} = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Віднімемо друге від першого: $x^{2} - y^{2} = 3 \Rightarrow (x - y) (x + y) = 3$ .
Якщо $x - y = 1$ , то $1 \cdot (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = 3$ . Система ${x - y = 1, x + y = 3$ дає $2 x = 4 \Rightarrow x = 2, y = 1$ . Перевірка: $4 - 2 = 2$ , $1 - 2 = - 1$ — так.
Якщо $x - y = - 1$ , то $(- 1) (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = - 3$ . Система ${x - y = - 1, x + y = - 3$ дає $2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2, y = - 1$ . Перевірка: $4 - (- 2) = 6 \neq = 2$ (помилка в умові чи розв'язанні).
Правильно: $x^{2} - y^{2} = 3$ . При $x = 2, y = 1$ : $4 - 1 = 3$ — так. При $x = - 2, y = - 1$ : $4 - 1 = 3$ — так.
Розв'язок б): $(2; 1), (- 2; - 1)$ .
в) Знайдемо суму квадратів: $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 13 + 12 = 25 \Rightarrow x + y = \pm 5$ .
$(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 13 - 12 = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Чотири системи: ${x + y = 5, x - y = 1 \Rightarrow x = 3, y = 2$ ; ${x + y = 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = 2, y = 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = 1 \Rightarrow x = - 2, y = - 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = - 3, y = - 2$ .
Розв'язок в): $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 1/3)$ ; б) $(2; 1), (- 2; - 1)$ ; в) $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Розбір зрозумілий?