а) Віднімемо друге рівняння від першого: (x2+y2+x−3y)−(x2−y2+x+3y)=6−(−2), що дає 2y2−6y=8, або y2−3y−4=0. Корені: y1=4,y2=−1. Підставимо y=4 у перше рівняння: x2+16+x−12=6⇒x2+x−2=0, звідки x1=1,x2=−2. Підставимо y=−1 у перше рівняння: x2+1−x+3=6⇒x2−x−2=0, звідки x3=2,x4=−1. Розв'язок системи а): (1;4),(−2;4),(2;−1),(−1;−1).
б) Друге рівняння є тотожністю першого (x2+y2=8), тому розглянемо систему {x2+y2=10,x2−y2=8. Додамо рівняння: 2x2=18⇒x2=9⇒x=±3. Знайдемо y: якщо x=3, то 9+y2=10⇒y=±1; якщо x=−3, то 9+y2=10⇒y=±1. Розв'язок системи б): (3;1),(3;−1),(−3;1),(−3;−1).
в) Складемо рівняння для y: з першого y(y−x)=6, з другого y(3y+4x)=−17. Зручніше виразити xy з першого: xy=y2−6. Підставимо у друге: 3y2+4(y2−6)=−17⇒7y2−24=−17⇒7y2=7⇒y2=1⇒y=±1. Якщо y=1, то x=y2−6/y=(1−6)/1=−5. Перевірка: (−5)2+12=26=6 (ошибка в підстановці, краще підставити у перше рівняння). Правильно: з y2−xy=6⇒xy=y2−6. Підставляємо у друге: 3y2+4(y2−6)=−17⇒7y2=7⇒y=±1. При y=1: x=(1−6)/1=−5. Перевірка у першому: 1−(−5)=6 — так. У другому: 3(1)+4(−5)=3−20=−17 — так. При y=−1: x=(1−6)/(−1)=5. Перевірка у першому: 1−5(−1)=6 — так. У другому: 3(1)+4(−5)=−17 — так. Розв'язок системи в): (−5;1),(5;−1).
Для розв'язання систем з невідомими другого степеня часто використовують метод віднімання рівнянь для спрощення виразів або метод підстановки, якщо одне рівняння дозволяє виразити одну змінну через іншу.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спробуйте відняти друге рівняння від першого в пункті а), щоб позбутися квадратичних членів x2. У пункті б) зверніть увагу, що друге рівняння можна переписати як (x−y)2=8 або скористатися формулою різниці квадратів.
Розв’язання крок за кроком
а) Віднімемо друге рівняння від першого: (x2+y2+x−3y)−(x2−y2+x+3y)=6−(−2), що дає 2y2−6y=8, або y2−3y−4=0. Корені: y1=4,y2=−1. Підставимо y=4 у перше рівняння: x2+16+x−12=6⇒x2+x−2=0, звідки x1=1,x2=−2. Підставимо y=−1 у перше рівняння: x2+1−x+3=6⇒x2−x−2=0, звідки x3=2,x4=−1. Розв'язок системи а): (1;4),(−2;4),(2;−1),(−1;−1).
б) Друге рівняння є тотожністю першого (x2+y2=8), тому розглянемо систему {x2+y2=10,x2−y2=8. Додамо рівняння: 2x2=18⇒x2=9⇒x=±3. Знайдемо y: якщо x=3, то 9+y2=10⇒y=±1; якщо x=−3, то 9+y2=10⇒y=±1. Розв'язок системи б): (3;1),(3;−1),(−3;1),(−3;−1).
в) Складемо рівняння для y: з першого y(y−x)=6, з другого y(3y+4x)=−17. Зручніше виразити xy з першого: xy=y2−6. Підставимо у друге: 3y2+4(y2−6)=−17⇒7y2−24=−17⇒7y2=7⇒y2=1⇒y=±1. Якщо y=1, то x=y2−6/y=(1−6)/1=−5. Перевірка: (−5)2+12=26=6 (ошибка в підстановці, краще підставити у перше рівняння). Правильно: з y2−xy=6⇒xy=y2−6. Підставляємо у друге: 3y2+4(y2−6)=−17⇒7y2=7⇒y=±1. При y=1: x=(1−6)/1=−5. Перевірка у першому: 1−(−5)=6 — так. У другому: 3(1)+4(−5)=3−20=−17 — так. При y=−1: x=(1−6)/(−1)=5. Перевірка у першому: 1−5(−1)=6 — так. У другому: 3(1)+4(−5)=−17 — так. Розв'язок системи в): (−5;1),(5;−1).
