Варіант а) Виразимо y: y=1−3x. Підставимо у друге рівняння: x−2(1−3x)2=−7. Розкриємо дужки: x−2(1−6x+9x2)=−7⇒x−2+12x−18x2=−7. Отримаємо квадратне рівняння: −18x2+13x+5=0, або 18x2−13x−5=0. Знайдемо дискримінант: D=(−13)2−4⋅18⋅(−5)=169+360=529. Корені: x1=3613+23=1, x2=3613−23=−185 (перевірка показує, що цілісних коренів є лише один). Перевіримо простішим способом: якщо x=1, то y=−2. Перевірка: 3(1)+(−2)=1 (так), 1−2(−2)2=1−8=−7 (так). Виправлення розрахунку:18x2−13x−5=0. Дискримінант D=529, D=23. x1=3613+23=1; x2=3613−23=−3610=−185. Знайдемо відповідні y: при x=1, y=−2. При x=−5/18, y=1−3(−5/18)=1+5/6=11/6. Перевірка другого рівняння для дробового кореня складна, але математично вірна. Однак у шкільних підручниках зазвичай беруться цілісні розв'язки. Давайте перевіримо ще раз умову: x−2y2=−7. Якщо x=1,y=−2, то 1−2(4)=−7. Все вірно.
Альтернативний підхід для шкільної програми: Можливо, я помилився у розкладанні на множники або знаходженні коренів. Перевіримо: 18x2−13x−5=(9x−5)(2x+1)? Ні. (6x−5)(3x+1)=18x2+6x−15x−5=18x2−9x−5. Не підходить. Давайте розв'яжемо 18x2−13x−5=0 ще раз. x=3613±23. x1=1, x2=−10/36=−5/18. Відповідно, пари (1;−2) і (−5/18;11/6).
Варіант б) Виразимо y: y=2x−8. Підставимо у друге рівняння: 2x2−(2x−8)2=32. Розкриємо дужки: 2x2−(4x2−32x+64)=32⇒−2x2+32x−64=32⇒−2x2+32x−96=0. Поділимо на −2: x2−16x+48=0. Знайдемо корені: (x−6)(x−8)=0, отже x1=6,x2=8. Знайдемо y: при x=6⇒y=2(6)−8=4; при x=8⇒y=2(8)−8=8.
Відповідь:
(6;4),(8;8).
3. Варіант в) Виразимо y: y=x−2. Підставимо у друге рівняння: x2−x(x−2)+(x−2)2=19. Розкриємо дужки: x2−x2+2x+(x2−4x+4)=19⇒x2−2x+4=19⇒x2−2x−15=0. Знайдемо корені: (x−5)(x+3)=0, отже x1=5,x2=−3. Знайдемо y: при x=5⇒y=3; при x=−3⇒y=−5.
Розбір зрозумілий?
§ 13. Системи рівнянь другого степеняЗавдання 670с. 136
Спочатку виразимо y з першого рівняння кожної системи, а потім підставимо цей вираз у друге рівняння. Це дозволить нам розв'язати квадратне рівняння відносно однієї змінної.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
З першого рівняння виходь y=1−3x. Підстав це у друге рівняння і знайди значення x.
Розв’язання крок за кроком
Варіант а) Виразимо y: y=1−3x. Підставимо у друге рівняння: x−2(1−3x)2=−7. Розкриємо дужки: x−2(1−6x+9x2)=−7⇒x−2+12x−18x2=−7. Отримаємо квадратне рівняння: −18x2+13x+5=0, або 18x2−13x−5=0. Знайдемо дискримінант: D=(−13)2−4⋅18⋅(−5)=169+360=529. Корені: x1=3613+23=1, x2=3613−23=−185 (перевірка показує, що цілісних коренів є лише один). Перевіримо простішим способом: якщо x=1, то y=−2. Перевірка: 3(1)+(−2)=1 (так), 1−2(−2)2=1−8=−7 (так). Виправлення розрахунку:18x2−13x−5=0. Дискримінант D=529, D=23. x1=3613+23=1; x2=3613−23=−3610=−185. Знайдемо відповідні y: при x=1, y=−2. При x=−5/18, y=1−3(−5/18)=1+5/6=11/6. Перевірка другого рівняння для дробового кореня складна, але математично вірна. Однак у шкільних підручниках зазвичай беруться цілісні розв'язки. Давайте перевіримо ще раз умову: x−2y2=−7. Якщо x=1,y=−2, то 1−2(4)=−7. Все вірно.
Альтернативний підхід для шкільної програми: Можливо, я помилився у розкладанні на множники або знаходженні коренів. Перевіримо: 18x2−13x−5=(9x−5)(2x+1)? Ні. (6x−5)(3x+1)=18x2+6x−15x−5=18x2−9x−5. Не підходить. Давайте розв'яжемо 18x2−13x−5=0 ще раз. x=3613±23. x1=1, x2=−10/36=−5/18. Відповідно, пари (1;−2) і (−5/18;11/6).
Варіант б) Виразимо y: y=2x−8. Підставимо у друге рівняння: 2x2−(2x−8)2=32. Розкриємо дужки: 2x2−(4x2−32x+64)=32⇒−2x2+32x−64=32⇒−2x2+32x−96=0. Поділимо на −2: x2−16x+48=0. Знайдемо корені: (x−6)(x−8)=0, отже x1=6,x2=8. Знайдемо y: при x=6⇒y=2(6)−8=4; при x=8⇒y=2(8)−8=8.
Відповідь:
(6;4),(8;8).
3. Варіант в) Виразимо y: y=x−2. Підставимо у друге рівняння: x2−x(x−2)+(x−2)2=19. Розкриємо дужки: x2−x2+2x+(x2−4x+4)=19⇒x2−2x+4=19⇒x2−2x−15=0. Знайдемо корені: (x−5)(x+3)=0, отже x1=5,x2=−3. Знайдемо y: при x=5⇒y=3; при x=−3⇒y=−5.
