Пояснити, чому система рівнянь а) {x2+y2+7=0,3xy−y2=0 і б) {x2+y2=1,x2−y2=4 не має розв'язків.
Розв’язання
Система а): У першому рівнянні x2+y2+7=0. Оскільки x2≥0 та y2≥0, то x2+y2≥0. Отже, x2+y2+7≥7. Це означає, що вираз не може дорівнювати нулю. Розв'язків немає.
Система б): Додамо почленно обидва рівняння: (x2+y2)+(x2−y2)=1+4. Скорочуємо y2: 2x2=5, звідси x2=2,5. Підставимо це у перше рівняння: 2,5+y2=1, тобто y2=1−2,5=−1,5. Квадрат числа не може бути від'ємним. Розв'язків немає.
Відповідь:
а) перше рівняння не має розв'язків; б) під час додавання рівнянь отримуємо протиріччя (y2=−1,5).
Розбір зрозумілий?
§ 13. Системи рівнянь другого степеняЗавдання 661с. 135
Обґрунтування відсутності розв'язків у системі
Умова
Пояснити, чому система рівнянь а) {x2+y2+7=0,3xy−y2=0 і б) {x2+y2=1,x2−y2=4 не має розв'язків.
Що треба знати
Квадрат будь-якого дійсного числа є невід'ємним (x2≥0). Сума двох таких чисел також не може бути від'ємною. Якщо сума квадратів дорівнює від'ємному числу, розв'язків у множині дійсних чисел немає.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розглянь перше рівняння системи а). Чому x2+y2+7 не може дорівнювати нулю? Для системи б) спробуй додати обидва рівняння почленно і подивись, що вийде.
Розв’язання крок за кроком
Система а): У першому рівнянні x2+y2+7=0. Оскільки x2≥0 та y2≥0, то x2+y2≥0. Отже, x2+y2+7≥7. Це означає, що вираз не може дорівнювати нулю. Розв'язків немає.
Система б): Додамо почленно обидва рівняння: (x2+y2)+(x2−y2)=1+4. Скорочуємо y2: 2x2=5, звідси x2=2,5. Підставимо це у перше рівняння: 2,5+y2=1, тобто y2=1−2,5=−1,5. Квадрат числа не може бути від'ємним. Розв'язків немає.
Відповідь:
а) перше рівняння не має розв'язків; б) під час додавання рівнянь отримуємо протиріччя (y2=−1,5).
