Знайти область визначення функцій: а) y=x2−5x+4−6x−x2; б) y=x2+7x+62x+x+10.
Розв’язання
Для пункту а): Розв'яжемо x2−5x+4≥0. Корені рівняння x2−5x+4=0: x1=1,x2=4. Нерівність виконується при x≤1 або x≥4. Розв'яжемо 6x−x2≥0, тобто x(6−x)≥0. Корені: 0,6. Нерівність виконується при 0≤x≤6. Знайдемо перетин множин: спільна частина відрізків (−∞;1]∪[4;+∞) і [0;6] — це два відрізки [0;1] та [4;6].
Для пункту б): Розв'яжемо x2+7x+6>0. Корені: −1,−6. Нерівність виконується при x<−6 або x>−1. Розв'яжемо x+10≥0, отже x≥−10. Знайдемо перетин: спільна частина (−∞;−6)∪(−1;+∞) і [−10;+∞) — це два відрізки [−10;−6) та (−1;+∞).
Знайти область визначення функцій: а) y=x2−5x+4−6x−x2; б) y=x2+7x+62x+x+10.
Що треба знати
Корінь квадратний з виразу має сенс лише тоді, коли цей вираз невід'ємний (≥0). Дріб має сенс, якщо знаменник відмінний від нуля. У завданні а) обидва підкореневі вирази мають бути ≥0. У завданні б) перший корінь вимагає x2+7x+6>0 (знаменник не може дорівнювати нулю), а другий — x+10≥0.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розв'яжи дві нерівності для кожного підкореневого виразу окремо, знайди їх розв'язки і знайди перетин цих множин (спільні значення x).
Розв’язання крок за кроком
Для пункту а): Розв'яжемо x2−5x+4≥0. Корені рівняння x2−5x+4=0: x1=1,x2=4. Нерівність виконується при x≤1 або x≥4. Розв'яжемо 6x−x2≥0, тобто x(6−x)≥0. Корені: 0,6. Нерівність виконується при 0≤x≤6. Знайдемо перетин множин: спільна частина відрізків (−∞;1]∪[4;+∞) і [0;6] — це два відрізки [0;1] та [4;6].
Для пункту б): Розв'яжемо x2+7x+6>0. Корені: −1,−6. Нерівність виконується при x<−6 або x>−1. Розв'яжемо x+10≥0, отже x≥−10. Знайдемо перетин: спільна частина (−∞;−6)∪(−1;+∞) і [−10;+∞) — це два відрізки [−10;−6) та (−1;+∞).
