Завдання 642, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 642

Нерівність з модулем

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 \leq 0$ ; б) $5 x^{2} + ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 4 t - 5 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 4 t - 5 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 5$ . Нерівність виконується при $- 1 \leq t \leq 5$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $0 \leq t \leq 5$ .
Повертаємося до $x$ : $0 \leq ∣ x ∣ \leq 5$ , що означає $- 5 \leq x \leq 5$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $5 t^{2} + t - 4 > 0$ . Корені рівняння $5 t^{2} + t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 0, 8$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 0, 8$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 0, 8$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 0, 8$ , що означає $x < - 0, 8$ або $x > 0, 8$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 5; 5]$ ; б) $x \in (- \infty; - 0, 8) \cup (0, 8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 642 с. 128

Нерівність з модулем

Умова

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 \leq 0$ ; б) $5 x^{2} + ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Що треба знати

Нерівності з модулем можна розв'язати, якщо ввести заміну $t = ∣ x ∣$ ( $t \geq 0$ ). Отримаємо звичайну квадратну нерівність відносно $t$ , знайдемо її корені та проаналізуємо знаки на відрізку $t \geq 0$ . Потім повернемося до змінної $x$ : якщо $∣ x ∣ \leq t_{1}$ , то $- t_{1} \leq x \leq t_{1}$ ; якщо $∣ x ∣ > t_{2}$ , то $x < - t_{2}$ або $x > t_{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Заміни $∣ x ∣$ на $t$ , розв'яжи квадратну нерівність для $t$ , вибери допустимі значення $t \geq 0$ , а потім запиши відповідь через $x$ з урахуванням визначення модуля.

Розв’язання крок за кроком

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 4 t - 5 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 4 t - 5 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 5$ . Нерівність виконується при $- 1 \leq t \leq 5$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $0 \leq t \leq 5$ .
Повертаємося до $x$ : $0 \leq ∣ x ∣ \leq 5$ , що означає $- 5 \leq x \leq 5$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $5 t^{2} + t - 4 > 0$ . Корені рівняння $5 t^{2} + t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 0, 8$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 0, 8$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 0, 8$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 0, 8$ , що означає $x < - 0, 8$ або $x > 0, 8$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 5; 5]$ ; б) $x \in (- \infty; - 0, 8) \cup (0, 8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?