Сторінка 128

Розв’язання

1. а) Знаменник $x^2+2$ завжди додатний ($>0$), тому нерівність зводиться до розв'язання $3x^2+5x-8⩽0$. Корені рівняння $3x^2+5x-8=0$: $D=25-4\cdot 3\cdot (-8)=109$, $x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{109}}{6}$. Оскільки знак $⩽$, розв'язок між коренями.

2. б) Знаменник $4x^2+1$ завжди додатний ($>0$), тому нерівність зводиться до $2x^2-x-3⩾0$. Корені рівняння $2x^2-x-3=0$: $D=1-4\cdot 2\cdot (-3)=25$, корені $x_1=-1,x_2=1,5$. Розв'язок: $x⩽-1$ або $x⩾1,5$.

3. в) Чисельник $3+|x|$ завжди додатний ($>0$). Нерівність зводиться до знаменника $3x^2-2x-16>0$. Корені рівняння $3x^2-2x-16=0$: $D=4-4\cdot 3\cdot (-16)=200$, корені $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{50}}{3}=\frac{1\pm 5\sqrt{2}}{3}$. Розв'язок: $x<x_1$ або $x>x_2$.

Розв’язання

1. а) Знаменник $x^2+5$ завжди додатний. Нерівність зводиться до $5x^2-9x-2>0$. Корені рівняння $5x^2-9x-2=0$: $D=81-4\cdot 5\cdot (-2)=121$, корені $x_1=-0,2,x_2=2$. Розв'язок: $x<-0,2$ або $x>2$.

2. б) Знаменник $3x^2+5$ завжди додатний. Нерівність зводиться до $3x^2-x-4⩽0$. Корені рівняння $3x^2-x-4=0$: $D=1-4\cdot 3\cdot (-4)=49$, корені $x_1=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3},x_2=\frac{5}{6}$. Розв'язок: $\left[-\frac{4}{3};\frac{5}{6}\right]$.

3. в) Чисельник $|x|+1$ завжди додатний. Нерівність зводиться до знаменника $1-x-2x^2<0$, або $-2x^2-x+1<0$. Помножимо на $-1$ і змінимо знак: $2x^2+x-1>0$. Корені рівняння $2x^2+x-1=0$: $D=1-4\cdot 2\cdot (-1)=9$, корені $x_1=-1,x_2=0,5$. Розв'язок: $x<-1$ або $x>0,5$.

Розв’язання

1. а) Розв'язуємо першу: $(x-2)(x-3)⩾0\Rightarrow x⩽2$ або $x⩾3$. Другу: $2x>-7\Rightarrow x>-3,5$. Перетин: $(-3,5;2]\cup [3;+\infty )$.

2. б) Перша: $x(x-4)<0\Rightarrow 0<x<4$. Друга: $(x-3)(x+2)⩾0\Rightarrow x⩽-2$ або $x⩾3$. Перетин: $[3;4)$.

3. в) Перша: $(2x-1)(2x+1)>0\Rightarrow x<-0,5$ або $x>0,5$. Друга: $(2x-3)(x-1)<0\Rightarrow 1,5>x>1$. Перетин: $(1;1,5)$.

Розв’язання

1. а) Розв'яжемо першу нерівність: $x^2+4x-12\le 0$. Корені рівняння $x_1=-6,x_2=2$. Оскільки знак $\le$, розв'язок: $[-6;2]$.

2. Розв'яжемо другу нерівність: $4x-9>6x\Rightarrow -2x>9\Rightarrow x<-4,5$. Інтервал: $(-\infty ;-4,5)$.

3. Знайдемо перетин інтервалів: $[-6;2]\cap (-\infty ;-4,5)=[-6;-4,5)$.

4. б) Розв'яжемо першу нерівність: $x^2-2x-3>0$. Корені $x_1=-1,x_2=3$. Розв'язок: $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

5. Розв'яжемо другу нерівність: $x^2-11x+28\ge 0$. Корені $x_1=4,x_2=7$. Розв'язок: $(-\infty ;4]\cup [7;+\infty )$.

6. Знайдемо перетин: $((-\infty ;-1)\cup (3;+\infty ))\cap ((-\infty ;4]\cup [7;+\infty ))=(-\infty ;-1)\cup [7;+\infty )$.

7. в) Розв'яжемо першу нерівність: $3x^2-4x+1\ge 0$. Корені $x_1=\frac{1}{3},x_2=1$. Розв'язок: $(-\infty ;\frac{1}{3}]\cup [1;+\infty )$.

8. Розв'яжемо другу нерівність: $3x^2-5x+2\le 0$. Корені $x_1=\frac{2}{3},x_2=1$. Розв'язок: $[\frac{2}{3};1]$.

9. Знайдемо перетин: $((-\infty ;\frac{1}{3}]\cup [1;+\infty ))\cap [\frac{2}{3};1]=\{1\}$.

Розв’язання

1. а) Перша нерівність: $x^2-2x-15\le 0\Rightarrow (x-5)(x+3)\le 0$, розв'язок $[-3;5]$. Друга: $x(x-7)<0$, розв'язок $(0;7)$. Перетин: $(0;5]$. Цілі числа: $1,2,3,4,5$.

2. б) Перша нерівність: $x^2+4x-12<0\Rightarrow (x+6)(x-2)<0$, розв'язок $(-6;2)$. Друга: $(x+1)(x+4)>0$, розв'язок $(-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )$. Перетин: $(-6;-4)\cup (-1;2)$. Цілі числа: $-5,-3,-2,0,1$.

3. в) Перша нерівність: $x^2+2x-8\le 0\Rightarrow (x+4)(x-2)\le 0$, розв'язок $[-4;2]$. Друга: $(x-2)(x+2)\ge 0$, розв'язок $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$. Перетин: $\{-2,2\}$.

Розв’язання

1. а) Перша: $(x-5)(x+2)<0\Rightarrow (-2;5)$. Друга: $x(x+5)\le 0\Rightarrow [-5;0]$. Перетин: $(-2;0]$. Найменше ціле число в цьому проміжку відсутнє, оскільки нижня межа $-2$ не включена. Але якщо шукати найменше ціле взагалі для системи? Ні, умова "найменший цілий розв'язок" означає мінімальне значення з усіх цілих чисел, що задовольняють систему. У проміжку $(-2;0]$ є числа $-1,0$. Найменше — $-1$.

2. б) Перша: $(x+1)(x-7)\le 0\Rightarrow [-1;7]$. Друга: $(x-3)(x-1)\ge 0\Rightarrow (-\infty ;1]\cup [3;+\infty )$. Перетин: $[-1;1]\cup [3;7]$. Цілі числа: $-1,0,1,3,4,5,6,7$. Найменше — $-1$.

3. в) Перша: $(x+5)(x-1)\ge 0\Rightarrow (-\infty ;-5]\cup [1;+\infty )$. Друга: $(x-5)(x+5)\le 0\Rightarrow [-5;5]$. Перетин: $\{-5\}\cup [1;5]$. Цілі числа: $-5,1,2,3,4,5$. Найменше — $-5$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо $0<x^2-5x<6$ на систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2-5x>0\\ x^2-5x<6\end{array}$. Розв'язуємо першу нерівність: $x(x-5)>0$, отже $x\in (-\infty ;0)\cup (5;+\infty )$. Другу нерівність переписуємо як $x^2-5x-6<0$, розв'язок якого: $(x+1)(x-6)<0$, тобто $x\in (-1;6)$. Знаходимо перетин цих проміжків: $(-1;0)\cup (5;6)$.

2. б) Перетворимо $x<2x+3<x^2$ на систему: $\{\begin{array}{l}x<2x+3\\ 2x+3<x^2\end{array}$. Розв'язуємо першу нерівність: $-x<3\Rightarrow x>-3$. Другу нерівність переписуємо як $x^2-2x-3>0$, корені рівняння $x^2-2x-3=0$ дорівнюють $-1$ та $3$. Розв'язок: $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$. Перетин проміжків: $(-3;-1)\cup (3;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо $1<x^2+2<3x$ на систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2+2>1\\ x^2+2<3x\end{array}$. Спростимо першу нерівність до $x^2+1>0$, що виконується для всіх дійсних чисел ($x\in \mathbb{R}$). Другу нерівність переписуємо як $x^2-3x+2<0$, корені рівняння $x^2-3x+2=0$ дорівнюють $1$ та $2$. Розв'язок: $x\in (1;2)$. Оскільки перша нерівність завжди вірна, остаточний розв'язок — $(1;2)$.

2. б) Перетворимо $3<x^2-2x+3<x^2$ на систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3>3\\ x^2-2x+3<x^2\end{array}$. Спростимо першу нерівність до $-2x>0\Rightarrow x<0$. Другу нерівність спростимо, віднявши $x^2$ від обох частин: $-2x+3<0\Rightarrow -2x<-3\Rightarrow x>1,5$. Знаходимо перетин проміжків $x<0$ та $x>1,5$, який порожній.

Розв’язання

1. а) Умова існування: $\{\begin{array}{l}{x}^2+3x-18\ge 0\\ 49-x^2\ge 0\end{array}$. Розв'язуємо першу нерівність: $(x+6)(x-3)\ge 0$, корені $-6$ та $3$, розв'язок $x\in (-\infty ;-6]\cup [3;+\infty )$. Другу нерівність переписуємо як $x^2\le 49$, корені $\pm 7$, розв'язок $x\in [-7;7]$. Знаходимо перетин: $[-7;-6]\cup [3;7]$.

2. б) Умова існування: $\{\begin{array}{l}{x}^2-3x-4>0\\ 7-x\ge 0\end{array}$ (знаменник під коренем має бути додатним). Першу нерівність розв'язуємо: $(x-4)(x+1)>0$, розв'язок $x\in (-\infty ;-1)\cup (4;+\infty )$. Другу нерівність розв'язуємо: $x\le 7$. Знаходимо перетин: $(-\infty ;-1)\cup (4;7]$.

Розв’язання

1. Для пункту а):
   Розв'яжемо $x^2-5x+4\ge 0$. Корені рівняння $x^2-5x+4=0$: $x_1=1,x_2=4$. Нерівність виконується при $x\le 1$ або $x\ge 4$.
   Розв'яжемо $6x-x^2\ge 0$, тобто $x(6-x)\ge 0$. Корені: $0,6$. Нерівність виконується при $0\le x\le 6$.
   Знайдемо перетин множин: спільна частина відрізків $(-\infty ;1]\cup [4;+\infty )$ і $[0;6]$ — це два відрізки $[0;1]$ та $[4;6]$.

2. Для пункту б):
   Розв'яжемо $x^2+7x+6>0$. Корені: $-1,-6$. Нерівність виконується при $x<-6$ або $x>-1$.
   Розв'яжемо $x+10\ge 0$, отже $x\ge -10$.
   Знайдемо перетин: спільна частина $(-\infty ;-6)\cup (-1;+\infty )$ і $[-10;+\infty )$ — це два відрізки $[-10;-6)$ та $(-1;+\infty )$.

Розв’язання

1. Для пункту а):
   Замінюємо $|x|=t$. Отримуємо $t^2-4t-5\le 0$. Корені рівняння $t^2-4t-5=0$: $t_1=-1,t_2=5$. Нерівність виконується при $-1\le t\le 5$.
   Оскільки $t=|x|\ge 0$, беремо лише частину $0\le t\le 5$.
   Повертаємося до $x$: $0\le |x|\le 5$, що означає $-5\le x\le 5$.

2. Для пункту б):
   Замінюємо $|x|=t$. Отримуємо $5t^2+t-4>0$. Корені рівняння $5t^2+t-4=0$: $t_1=-1,t_2=0,8$. Нерівність виконується при $t<-1$ або $t>0,8$.
   Оскільки $t=|x|\ge 0$, беремо лише частину $t>0,8$.
   Повертаємося до $x$: $|x|>0,8$, що означає $x<-0,8$ або $x>0,8$.

Розв’язання

1. Для пункту а):
   Замінюємо $|x|=t$. Отримуємо $t^2-6t+8\le 0$. Корені рівняння $t^2-6t+8=0$: $t_1=2,t_2=4$. Нерівність виконується при $2\le t\le 4$.
   Оскільки $t=|x|$, маємо $2\le |x|\le 4$. Це означає дві частини: $-4\le x\le -2$ або $2\le x\le 4$.

2. Для пункту б):
   Замінюємо $|x|=t$. Отримуємо $3t^2-t-4>0$. Корені рівняння $3t^2-t-4=0$: $t_1=-1,t_2=4/3$. Нерівність виконується при $t<-1$ або $t>4/3$.
   Оскільки $t=|x|\ge 0$, беремо лише частину $t>4/3$.
   Повертаємося до $x$: $|x|>4/3$, що означає $x<-4/3$ або $x>4/3$.

Розв’язання

1. а) Корені: $x_1=-7$, $x_2=-1$, $x_3=2$. При великих $x$ вираз додатний. Знаки змінюються при кожному корені (ступені 1). Схема знаків: $+\to -\to +$. Відповідно до умови $⩾0$, беремо інтервали, де знак плюс, і самі корені.

2. б) Корені: $x_1=-10$, $x_2=6$, $x_3=8$. При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+\to -\to +$. Умова $<0$ відповідає проміжку між коренями, де знак мінус.

3. в) Корені: $x_1=-3$ (ступінь 2), $x_2=2$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Знак не змінюється при $-3$, змінюється при $2$. Схема знаків: $+\to +\to -$. Умова $<0$ виконується тільки в інтервалі праворуч від кореня $2$.

4. г) Корені: $x_1=-5$ (ступінь 1), $x_2=1$ (ступінь 2), $x_3=7$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+\to +\to -\to +$. Умова $⩾0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, включаючи корені з парним ступенем ($x=1$).

Розв’язання

1. а) Корені: $x_1=-6$, $x_2=-2$, $x_3=5$. При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+\to -\to +$. Умова $⩾0$ відповідає інтервалам з плюсом і кореням.

2. б) Корені: $x_1=-9$, $x_2=-3$, $x_3=8$. При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+\to -\to +$. Умова $<0$ відповідає проміжку між коренями, де знак мінус.

3. в) Корені: $x_1=1$ (ступінь 2), $x_2=-3$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Знак не змінюється при $1$, змінюється при $-3$. Схема знаків: $+\to +\to -$. Умова $>0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, але корінь $x=1$ виключаємо (не дорівнює).

4. г) Корені: $x_1=-4$ (ступінь 1), $x_2=-2$ (ступінь 2), $x_3=3$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+\to +\to -\to +$. Умова $⩾0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, включаючи корені з парним ступенем ($x=-2$).

Розв’язання

1. а) Коефіцієнт при $x^2$ дорівнює $1>0$, парабола розкривається вгору. Щоб $x^2+2bx+1<0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю над віссю $Ox$. Це можливо лише якщо дискримінант від'ємний: $D=(2b{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4b^2-4<0$.

2. б) Нерівність $⩽0$ означає, що графік має бути нижче або на осі $Ox$. Якщо коефіцієнт при $x^2$ додатний ($b>0$), парабола розкривається вгору і не може бути повністю нижче осі. Якщо $b<0$, парабола розкривається вниз, але тоді вона завжди має точки нижче осі (має розв'язки). Якщо $b=0$, отримуємо лінійну функцію $6x+1⩽0$, яка має розв'язки. Отже, для існування нерівності без розв'язків потрібна специфічна ситуація з коефіцієнтом при $x^2$. Але якщо $b=0$, це лінійна функція, яка завжди перетинає вісь. Якщо $b\ne 0$, то парабола. Якщо $b<0$ ($a<0$), парабола розкривається вниз і має максимум. Щоб $y\le 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (що суперечить $a<0$). Якщо $b>0$ ($a>0$), парабола розкривається вгору і має мінімум. Щоб $y\le 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (мінімум > 0).

3. в) Нерівність $>0$. Коефіцієнт при $x^2$ — $(b-1)$. Якщо $b=1$, це лінійна функція $-2x+0>0$, яка має розв'язки. Якщо $b\ne 1$, це парабола. Щоб $y>0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю під віссю $Ox$. Це можливо лише якщо парабола розкривається вниз ($b-1<0$) і дискримінант від'ємний (не перетинає вісь).