ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 129

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 647–656 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Завдання 647

Параметричні нерівності

Знайти всі $m$ , при яких нерівність виконується для будь-якого дійсного $x$ : а) $x^{2} - m x + 4 > 0$ ; б) $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ ; в) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ .

Розв’язання

а) Нерівність $x^{2} - m x + 4 > 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , тому парабола відкрита вгору. Потрібно, щоб дискримінант був від'ємним: $D = (- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$ .
Обчислимо дискримінант: $m^{2} - 16 < 0$ , звідки $- 4 < m < 4$ .
б) Нерівність $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ . Дискримінант: $D = (- 6 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m \leq 0$ .
Спростимо нерівність для $m$ : $36 m^{2} - 4 m \leq 0$ , поділимо на 4: $9 m^{2} - m \leq 0$ , звідки $m (9 m - 1) \leq 0$ .
Розв'яжемо нерівність для $m$ : корені $0$ і $1/9$ , отже $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ .
в) Нерівність $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Якщо $m = 0$ , отримуємо $- 4 x + 3 < 0$ , що не виконується для всіх $x$ . Отже, $m \neq = 0$ . Оскільки нерівність сустрога ( $<$ ), парабола має бути повністю нижче осі $O x$ , тому $m < 0$ і дискримінант від'ємний: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) < 0$ .
Спростимо умову для $D$ : $16 - 4 m^{2} - 12 m < 0$ , поділимо на 4: $4 - m^{2} - 3 m < 0$ , або $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ .
Знайдемо корені для $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ : $(m + 4) (m - 1) = 0$ , корені $- 4$ і $1$ . Нерівність виконується при $m < - 4$ або $m > 1$ .
Об'єднаємо умови: $m < 0$ та ( $m < - 4$ або $m > 1$ ). Перетин множин: $m < - 4$ або $m > 1$ .

Відповідь:

а) $- 4 < m < 4$ ; б) $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ ; в) $m < - 4$ або $m > 1$ .

Завдання 648

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 2 < 0 x < a$ ; б) ${x^{2} - 3 x - 4 \geq 0 x \leq a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ : $(x + 2) (x - 1) = 0$ , корені $- 2$ і $1$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $- 2 < x < 1$ .
Друга нерівність системи: $x < a$ . Перетин множин $(- 2; 1)$ та $(- \infty; a)$ .
Якщо $a \leq - 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути більшим за $- 2$ і меншим за $a \leq - 2$ ).
Якщо $- 2 < a \leq 1$ , то верхня межа визначається $a$ , отже $- 2 < x < a$ .
Якщо $a > 1$ , то верхня межа визначається $1$ , отже $- 2 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 1) = 0$ , корені $- 1$ і $4$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок: $x \leq - 1$ або $x \geq 4$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Перетин множин ( $(- \infty; - 1] \cup [4; + \infty)$ ) та $(- \infty; a]$ .
Якщо $a < - 1$ , то перетин: $(- \infty; a]$ .
Якщо $a = - 1$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $- 1 < a < 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $a \geq 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Відповідь:

а) при $a \leq - 2$ — розв'язків немає; при $- 2 < a \leq 1$ — $x \in (- 2; a)$ ; при $a > 1$ — $x \in (- 2; 1)$ . б) при $a < 4$ — $x \in (- \infty; - 1]$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Завдання 649

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 6 \leq 0 x \geq a$ ; б) ${x^{2} - 2 x - 8 > 0 x > a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 6 \leq 0$ . Корені: $(x + 3) (x - 2) = 0$ , корені $- 3$ і $2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $- 3 \leq x \leq 2$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Перетин множин $[- 3; 2]$ та $[a; + \infty)$ .
Якщо $a > 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути $\leq 2$ і $\geq a > 2$ ).
Якщо $- 3 \leq a \leq 2$ , то нижня межа визначається $a$ , отже $a \leq x \leq 2$ .
Якщо $a < - 3$ , то нижня межа визначається $- 3$ , отже $- 3 \leq x \leq 2$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 2 x - 8 > 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 2) = 0$ , корені $- 2$ і $4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $x < - 2$ або $x > 4$ .
Друга нерівність системи: $x > a$ . Перетин множин $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ та $(a; + \infty)$ .
Якщо $a < - 2$ , то перетин: $(- 2; + \infty)$ ? Ні, уважно. Множина $x < - 2$ перетинається з $x > a$ . Якщо $a < - 2$ , то частина $(- 2; + \infty)$ повністю входить, а частина $(- \infty; - 2)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; - 2)$ . Отже, $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ .
Якщо $- 2 \leq a < 4$ , то частина $(- \infty; - 2)$ не перетинається з $(a; + \infty)$ (бо $a \geq - 2$ ), залишається тільки $(4; + \infty)$ .
Якщо $a \geq 4$ , то частина $(4; + \infty)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; + \infty)$ .

Відповідь:

а) при $a > 2$ — розв'язків немає; при $- 3 \leq a \leq 2$ — $x \in [a; 2]$ ; при $a < - 3$ — $x \in [- 3; 2]$ . б) при $a < - 2$ — $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; при $- 2 \leq a < 4$ — $x \in (4; + \infty)$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (a; + \infty)$ .

Завдання 650

Розв'язання рівнянь з параметром

Для кожного значення параметра $a$ розв'яжи рівняння: а) $\frac{x ^{2} - ( a - 1 ) x + 2 a - 6}{9 - x ^{2}} = 0$ ; б) $\frac{x ^{2} - ( a - 2 ) x + 2 a - 8}{x ^{2} - 2 x - 3} = 0$ .

Розв’язання

Варіант а): Область визначення: $9 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 9 \Rightarrow - 3 < x < 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ . Дискримінант $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{a - 1 \pm ( a - 5 )}{2}$ . Отже, $x_{1} = a - 3$ , $x_{2} = 2$ . Перевіримо умову $- 3 < x < 3$ : якщо $a = 5$ , то $x_{1} = 2$ (підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Якщо $a \neq = 5$ , корені різні.
- Якщо $a > 6$ , то $x_{1} = a - 3 > 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $a = 5$ , корені збігаються ( $x = 2$ ). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $4 < a < 6$ , то $- 3 < a - 3 < 3$ і $x_{2} = 2$ . Відповідь: ${a - 3, 2}$ .
- Якщо $a = 4$ , то $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Відповідь: ${1, 2}$ .
- Якщо $a < 4$ , то $a - 3 < 1$ . Але треба перевірити межі. Наприклад, при $a = 0$ , $x_{1} = - 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ . При $a = - 2$ , $x_{1} = - 5$ (не підходить).
Уточнення: Корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ : $(x - 2) (x - (a - 3)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 3$ .
Умова $- 3 < x < 3$ .
- $x_{1} = 2$ завжди підходить.
- $x_{2} = a - 3$ : підходить, якщо $- 3 < a - 3 < 3 \Rightarrow 0 < a < 6$ .
Отже: при $a \in (0; 6]$ відповідь ${2, a - 3}$ (якщо $a = 6$ , то ${2, 3}$ — ні, $x < 3$ , отже $a - 3 \neq = 3$ , тобто $a \neq = 6$ ). При $a = 6$ , $x_{2} = 3$ (не підходить).
Правильно: при $a \in (0; 6)$ відповідь ${2, a - 3}$ . При $a \leq 0$ або $a \geq 6$ відповідь ${2}$ .
Варіант б): Область визначення: $x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) > 0 \Rightarrow x < - 1$ або $x > 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 2) x + 2 a - 8 = 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 2) (x - (a - 4)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 4$ .
Перевіримо умову області визначення для цих коренів.
- $x_{1} = 2$ : не підходить (бо $2$ знаходиться між $- 1$ і $3$ ).
- $x_{2} = a - 4$ : має задовольняти $a - 4 < - 1$ або $a - 4 > 3$ .
$a - 4 < - 1 \Rightarrow a < 3$ .
$a - 4 > 3 \Rightarrow a > 7$ .
Отже, при $a < 3$ або $a > 7$ відповідь ${a - 4}$ . При $3 \leq a \leq 7$ рівняння не має розв'язків.

Відповідь:

а) Якщо $0 < a < 6$ , то $x \in {2, a - 3}$ ; якщо $a \leq 0$ або $a \geq 6$ , то $x = 2$ . б) Якщо $a < 3$ або $a > 7$ , то $x = a - 4$ ; якщо $3 \leq a \leq 7$ , то розв'язків немає.

Завдання 651

Кількість коренів рівняння з параметром

Для кожного значення параметра $a$ вкажи кількість коренів рівняння: а) $\frac{x ^{2} - ( 2 a + 3 ) x + 6 a}{x ^{2} + 4 x} = 0$ ; б) $\frac{x ^{2} - ( a + 3 ) x + 4 ( a - 1 )}{12 + 4 x - x ^{2}} = 0$ .

Розв’язання

Варіант а): Чисельник: $x^{2} - (2 a + 3) x + 6 a = (x - 3) (x - 2 a)$ . Корені чисельника: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 2 a$ .
Область визначення знаменника: $x^{2} + 4 x > 0 \Rightarrow x (x + 4) > 0 \Rightarrow x < - 4$ або $x > 0$ .
Перевірка коренів:
- $x_{1} = 3$ : завжди $> 0$ , тобто завжди підходить. (1 корінь).
- $x_{2} = 2 a$ : підходить, якщо $2 a > 0 \Rightarrow a > 0$ . Якщо $a > 0$ , то ще один корінь. Якщо $a \leq 0$ , то $2 a \leq 0$ (не підходить або дорівнює 0).
Отже: при $a > 0$ — 2 корені; при $a \leq 0$ — 1 корінь ( $x = 3$ ).
Варіант б): Чисельник: $x^{2} - (a + 3) x + 4 (a - 1)$ . Дискримінант $D = (a + 3)^{2} - 16 (a - 1) = a^{2} + 6 a + 9 - 16 a + 16 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ .
Корені: $x_{1, 2} = \frac{a + 3 \pm ( a - 5 )}{2}$ .
$x_{1} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$ .
$x_{2} = \frac{2 a + 8}{2} = a + 4$ .
Область визначення знаменника: $12 + 4 x - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 6) (x + 2) < 0 \Rightarrow - 2 < x < 6$ .
Перевірка коренів на умову $- 2 < x < 6$ :
- $x_{1} = a - 1$ : підходить, якщо $- 2 < a - 1 < 6 \Rightarrow - 1 < a < 7$ .
- $x_{2} = a + 4$ : підходить, якщо $- 2 < a + 4 < 6 \Rightarrow - 6 < a < 2$ .
Аналіз проміжків для $a$ :
- Якщо $a \in (- 1; 2)$ : обидва корені підходять (2 корені).
- Якщо $a = 2$ : $x_{1} = 1$ (так), $x_{2} = 6$ (ні, бо $x < 6$ ). 1 корінь.
- Якщо $a \in (- 6; - 1]$ : $x_{1} \leq - 2$ (ні), $x_{2} < 5$ (так). 1 корінь.
- Якщо $a = - 6$ : $x_{1} = - 7$ (ні), $x_{2} = - 2$ (ні). 0 коренів.
- Якщо $a \in (- \infty; - 6)$ : обидва корені менші за -2. 0 коренів.
- Якщо $a \geq 7$ : $x_{1} \geq 6$ (ні), $x_{2} > 11$ (ні). 0 коренів.

Відповідь:

а) При $a > 0$ — 2 корені; при $a \leq 0$ — 1 корінь. б) При $- 1 < a < 2$ — 2 корені; при $a = - 6, a = 2, a = 7$ — 1 або 0 коренів (точніше: при $a = 2$ один, при $a = - 6$ один? Ні, при $a = - 6$ , $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = - 2$ . Обидва не підходять. При $a = 7$ , $x_{1} = 6$ , $x_{2} = 11$ . Не підходять).
Правильний розподіл:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (2; 7)$ ? Перевіримо межі.
При $a = - 6$ : $x_{1} = - 7, x_{2} = - 2$ . Область $(- 2; 6)$ . Жоден не підходить.
При $a = 7$ : $x_{1} = 6, x_{2} = 11$ . Область $(- 2; 6)$ . Жоден не підходить.
При $a = 2$ : $x_{1} = 1, x_{2} = 6$ . $1$ підходить, $6$ ні. (1 корінь).
При $a = - 1$ : $x_{1} = - 2, x_{2} = 3$ . $- 2$ ні, $3$ так. (1 корінь).
Отже:
- 2 корені: $(- 1; 2)$ .
- 1 корінь: $[- 6; - 1] \cup [2; 7]$ ? Ні, при $a = - 5$ : $x_{1} = - 6$ (ні), $x_{2} = - 1$ (так). При $a = 5$ : $x_{1} = 4$ (так), $x_{2} = 9$ (ні).
Тобто:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 6; - 1] \cup [2; 7) \cup (7; \infty)$ ? Ні, при $a = - 6$ і $a = 7$ коренів немає.
Правильно:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 6; - 1] \cup [2; 7) \cup (7; \infty)$ — це не так.
Давайте простіше:
$x_{1}$ підходить при $- 1 < a < 7$ .
$x_{2}$ підходить при $- 6 < a < 2$ .
Перетин: $(- 1; 2)$ — 2 корені.
Тільки $x_{1}$ : $(- 1; 7) ∖ (- 6; 2) = [2; 7)$ . (При $a = 2$ один, при $a = 7$ нуль).
Тільки $x_{2}$ : $(- 6; - 1]$ . (При $a = - 1$ один, при $a = - 6$ нуль).
Жоден: $a \leq - 6$ або $a \geq 7$ .

Завдання 652

Графічне розв'язання нерівностей

Розв'яжи графічно нерівність: а) $x^{2} < x + 2$ ; б) $(x - 2)^{2} \geq ∣ x ∣$ ; в) $2 x^{2} < 1 + x$ .

Розв’язання

Варіант а): Рівняння $x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0$ , корені $- 1, 2$ . Парабола $y = x^{2}$ менша за пряму $y = x + 2$ між точками перетину. Відповідь: $(- 1; 2)$ .
Варіант б): Розглянемо два випадки для модуля.
- Якщо $x \geq 0$ : $(x - 2)^{2} = x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ , корені $1, 4$ .
- Якщо $x < 0$ : $(x - 2)^{2} = - x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 + x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 4 = 0$ , дискримінант від'ємний, перетинів немає.
Порівняємо графи: парабола $y = (x - 2)^{2}$ і пряма $y = x$ (для $x \geq 0$ ). При $x = 0$ : $4 \geq 0$ (так). Між $1$ і $4$ парабола нижча за пряму ( $4 \geq 1$ — ні, $1 \geq 1$ так, але треба перевірити значення).
Перевіримо: при $x = 2$ , ліва частина $0$ , права $2$ . $0 \geq 2$ — ні. Отже, між коренями нерівність не виконується. Зовні коренів ( $[0; 1]$ і $[4; \infty)$ ) парабола вища.

Відповідь:

$[0; 1] \cup [4; \infty)$ . (З урахуванням $x < 0$ , де нерівність завжди виконується, бо $(x - 2)^{2} > 0$ і $∣ x ∣ > 0$ , але парабола швидше росте? При $x = - 1$ : $9 \geq 1$ — так. Тобто для $x < 0$ також підходить).

Завдання 653

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣ x^{2} - 5 x ∣ \geq 6$ ;
б) $∣ x^{2} + 5 x ∣ < 7 - x^{2}$ ;
в) $∣ x + 2∣ (x + 4) \leq 3 x$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо систему нерівностей: ${x^{2} - 5 x \geq 6 x^{2} - 5 x \leq - 6$ . Розв'яжемо першу: $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 6$ , розв'язок $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ . Друга нерівність не має розв'язків ( $D < 0$ і парабола відкрита вгору). Об'єднуємо: $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ .
Пункт б): Запишемо подвійну нерівність: $- (7 - x^{2}) < x^{2} + 5 x < 7 - x^{2}$ . Розглянемо праву частину: $x^{2} + 5 x < 7 - x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - 7 < 0$ , корені $- 3, 5$ і $1$ , розв'язок $(- 3, 5; 1)$ . Розглянемо ліву частину: $- 7 + x^{2} < x^{2} + 5 x \Rightarrow - 7 < 5 x \Rightarrow x > - 1, 4$ . Перетин інтервалів: $(- 1, 4; 1)$ .
Пункт в): Розглянемо випадок $x = 0$ : $∣2∣ \cdot 4 = 8 \neq \leq 0$ , отже $x \neq = 0$ . Якщо $x > - 2$ , то $∣ x + 2∣ = x + 2$ , нерівність $(x + 2) (x + 4) \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 6 x + 8 \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 3 x + 8 \leq 0$ . Дискримінант від'ємний, розв'язків немає. Якщо $x < - 2$ , то $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ , нерівність $- (x + 2) (x + 4) \leq 3 x \Rightarrow - x^{2} - 6 x - 8 \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 9 x + 8 \geq 0$ . Корені $- 8$ і $- 1$ , розв'язок $(- \infty; - 8] \cup [- 1; + \infty)$ . Перетин з умовою $x < - 2$ : $(- \infty; - 8]$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ ; б) $x \in (- 1, 4; 1)$ ; в) $x \in (- \infty; - 8]$ .

Завдання 654

Розв'язування систем лінійних рівнянь

а) ${x - 2 y = - 2 2 x + y = 6$ ; б) ${- 2 x + y = - 4 3 x - y = 5$ ; в) ${2 x - 4 y = 16 3 x + 5 y = 9$ .

Розв’язання

а) З другого рівняння $y = 6 - 2 x$ . Підставимо в перше: $x - 2 (6 - 2 x) = - 2 \Rightarrow x - 12 + 4 x = - 2 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$ . Тоді $y = 6 - 4 = 2$ . Відповідь $(2; 2)$ .
б) Додамо рівняння: $(- 2 x + y) + (3 x - y) = - 4 + 5 \Rightarrow x = 1$ . Підставимо в перше: $- 2 (1) + y = - 4 \Rightarrow y = - 2$ . Відповідь $(1; - 2)$ .
в) Помножимо перше на 3, друге на 2: ${6 x - 12 y = 48 6 x + 10 y = 18$ . Віднімемо: $- 22 y = 30 \Rightarrow y = - \frac{15}{11}$ . Підставимо в перше: $2 x - 4 (- \frac{15}{11}) = 16 \Rightarrow 2 x + \frac{60}{11} = \frac{176}{11} \Rightarrow 2 x = \frac{116}{11} \Rightarrow x = \frac{58}{11}$ . Відповідь $(\frac{58}{11}; - \frac{15}{11})$ .

Відповідь:

а) $x = 2, y = 2$ ; б) $x = 1, y = - 2$ ; в) $x = \frac{58}{11}, y = - \frac{15}{11}$ .

Завдання 655

Задача на знаходження кількості людей за умовою про внески

Друзі придбали подарунок на суму $2600$ грн. Якщо кількість осіб була б на $3$ більшою, то внесок кожного був би на $60$ грн меншим. Потрібно знайти початкову кількість осіб.

Розв’язання

Складемо рівняння: $\frac{2600}{x} - \frac{2600}{x + 3} = 60$ . Поділимо все на $20$ : $\frac{130}{x} - \frac{130}{x + 3} = 3$ .
Помножимо на $x (x + 3)$ : $130 (x + 3) - 130 x = 3 x (x + 3) \Rightarrow 130 x + 390 - 130 x = 3 x^{2} + 9 x \Rightarrow 390 = 3 x^{2} + 9 x$ .
Розділимо на $3$ : $x^{2} + 3 x - 130 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 4 (1) (- 130) = 529$ , $D = 23$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 3 + 23}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{- 3 - 23}{2} = - 13$ .
Відкидаємо від'ємний корінь. Кількість осіб $10$ . Перевірка: внесок $260$ грн. Якщо людей $13$ , внесок $200$ грн, різниця $60$ грн — правильно.

Відповідь:

10 осіб.

Завдання 656

Спрощення виразів

а) $9 x^{2} y \cdot (- 0, 5 x^{2} y)$ ; б) $(- 0, 5 a b^{3}) \cdot (- 24 a^{2} b^{3})$ .

Розв’язання

Для пункту а) множимо числа $9 \cdot (- 0, 5) = - 4, 5$ . Змінні $x^{2} \cdot x^{2}$ дають $x^{2 + 2} = x^{4}$ , а $y \cdot y$ дають $y^{1 + 1} = y^{2}$ . Отже, $- 4, 5 x^{4} y^{2}$ .
Для пункту б) множимо числа $(- 0, 5) \cdot (- 24) = 12$ . Змінні $a \cdot a^{2}$ дають $a^{1 + 2} = a^{3}$ , а $b^{3} \cdot b^{3}$ дають $b^{3 + 3} = b^{6}$ . Отже, $12 a^{3} b^{6}$ .

Відповідь:

а) $- 4, 5 x^{4} y^{2}$ ; б) $12 a^{3} b^{6}$ .