Сторінка 130

Розв’язання

1. Для пункту а): розв'яжемо рівняння $-x^2-4x+5=0$. Дискримінант $D=(-4{)}^2-4(-1)(5)=16+20=36$. Корені: $x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{-2}$, отже $x_1=-5$, $x_2=1$. Оскільки парабола опукла вниз ($a=-1$), вона лежить вище осі між коренями. Нерівність $⩽0$ виконується за межами проміжку $(-5;1)$, включаючи корені.

2. Для пункту б): розв'яжемо рівняння $x^2+5x+4=0$. Дискримінант $D=5^2-4(1)(4)=25-16=9$. Корені: $x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2}$, отже $x_1=-4$, $x_2=-1$. Оскільки парабола опукла вгору ($a=1$), вона лежить вище осі за межами проміжку $(-4;-1)$. Нерівність $>0$ виконується при $x<-4$ або $x>-1$.

Розв’язання

1. Для пункту а): розв'яжемо $-x^2+6x-8=0$. Дискримінант $D=36-32=4$. Корені: $x_{1,2}=\frac{-6\pm 2}{-2}$, отже $x_1=2$, $x_2=4$. Парабола опукла вниз ($a=-1$). Нерівність $⩽0$ виконується за межами коренів.

2. Для пункту б): розв'яжемо $-x^2-3x+4=0$. Дискримінант $D=9+16=25$. Корені: $x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{-2}$, отже $x_1=-4$, $x_2=1$. Парабола опукла вниз. Нерівність $>0$ виконується між коренями.

Розв’язання

1. Для пункту а): Корені: $x_1=-7$, $x_2=-1$, $x_3=2$. При великих $x$ знак «+». Знак змінюється при кожному корені (прості множники). Схема знаків: $(+,-,+,-)$ відліваючи від правого кінця. Нам потрібні ділянки зі знаком $⩾0$. Це проміжки $[-7;-1]$ та $[2;+\infty )$.

2. Для пункту б): Корені: $x_1=-10$, $x_2=6$, $x_3=8$. Схема знаків аналогічна. Нам потрібні ділянки зі знаком $<0$. Це проміжки $(-\infty ;-10)$ та $(6;8)$.

Розв’язання

1. а) Корені рівняння: $x_1=-6$, $x_2=-2$, $x_3=5$. Оскільки коефіцієнт при $x^3$ додатний, знак виразу змінюється на кожному корені. Знаки інтервалів: $(+\cdots +)$, $(\cdots -)$, $(\cdots +)$. Нерівність $⩾0$, тому беремо інтервали з плюсом і самі корені: $x\in (-\infty ;-6]\cup [-2;5]$.
   б) Корені рівняння: $x_1=-9$, $x_2=-3$, $x_3=8$. Знаки інтервалів: $(+\cdots +)$, $(\cdots -)$, $(\cdots +)$. Нерівність $<0$, тому беремо лише проміжок між середнім і найбільшим коренем: $x\in (-3;8)$.

Розв’язання

1. а) Нерівність $x^2+2bx+1<0$ не має розв'язків, якщо тричлен ніколи не менший за 0. Оскільки коефіцієнт при $x^2$ дорівнює 1 ($a=1>0$), парабола завжди спрямована вгору. Отже, вона може бути меншою за 0 лише якщо розкрита ($D>0$). Щоб цього не сталося, потрібно $D⩽0$.
   $D=(2b{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4b^2-4$. Умова $4b^2-4⩽0\Rightarrow b^2⩽1\Rightarrow -1⩽b⩽1$.
   б) Нерівність $b{x}^2+6bx+1⩽0$ не має розв'язків. Якщо $b=0$, отримуємо $1⩽0$ (неправда). Якщо $b>0$, парабола спрямована вгору, і вона може бути $⩽0$ лише якщо розкрита ($D⩾0$). Щоб цього не сталося, треба $D<0$.
   $D=(6b{)}^2-4\cdot b\cdot 1=36b^2-4b$. Умова $36b^2-4b<0\Rightarrow 4b(9b-1)<0$. Розв'язок: $0<b<\frac{1}{9}$.
   в) Нерівність $(b-1)x^2-2bx+3b-3>0$ не має розв'язків. Це означає, що тричлен ніколи не більший за 0. Якщо $b=1$, отримуємо $0>0$ (неправда). Якщо $b\ne 1$, то парабола спрямована вниз ($b-1<0\Rightarrow b<1$), і вона може бути $>0$ лише якщо розкрита. Щоб цього не сталося, треба $D⩽0$.
   $D=(-2b{)}^2-4(b-1)(3b-3)=4b^2-4(3b^2-6b+3)=4b^2-12b^2+24b-12=-8b^2+24b-12$.
   Умова $-8b^2+24b-12⩽0\Rightarrow 2b^2-6b+3⩾0$. Корені $D^{\prime }=36-24=12$, $b_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$. Оскільки парабола $2b^2...$ спрямована вгору, нерівність виконується за межами коренів: $b\in (-\infty ;\frac{3-\sqrt{3}}{2}]\cup [\frac{3+\sqrt{3}}{2};+\infty )$. Також враховуємо умову спрямованості гілки вниз ($b<1$). Перетин: $b\in (-\infty ;\frac{3-\sqrt{3}}{2}]$.

Розв’язання

1. а) Коефіцієнт при $x^2$ дорівнює 1 ($>0$). Щоб тричлен був завжди додатним, потрібно $D<0$.
   $D=(-m{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-16$. Умова $m^2-16<0\Rightarrow m^2<16\Rightarrow -4<m<4$.
   б) Коефіцієнт при $x^2$ дорівнює 1 ($>0$). Щоб тричлен був завжди невід'ємним, потрібно $D⩽0$.
   $D=(-6m{)}^2-4\cdot 1\cdot m=36m^2-4m$. Умова $36m^2-4m⩽0\Rightarrow 4m(9m-1)⩽0$. Розв'язок: $m\in [0;\frac{1}{9}]$.
   в) Коефіцієнт при $x^2$ дорівнює $m$. Якщо $m=0$, отримуємо $-4x+3<0$, що не виконується для всіх $x$. Отже, $m\ne 0$. Щоб тричлен був завжди від'ємним ($<0$), потрібно парабола спрямована вниз ($m<0$) і розкрита ($D<0$).
   $D=(-4{)}^2-4\cdot m\cdot (m+3)=16-4m^2-12m$. Умова $16-4m^2-12m<0\Rightarrow m^2+3m-4>0$.
   Корені рівняння $m^2+3m-4=0$: $(m+4)(m-1)=0\Rightarrow m_1=-4,m_2=1$. Нерівність виконується за межами коренів: $m<-4$ або $m>1$.
   Об'єднуємо з умовою $m<0$: отримуємо $m\in (-\infty ;-4)$.

Розв’язання

1. Розглянемо підпункт а). Знайдемо корені рівняння $x^2-2x+a=0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot a=4-4a$.
   Якщо $D<0$ (тобто $a>1$), то парабола $y=x^2-2x+a$ завжди знаходиться вище осі $Ox$, тому нерівність $x^2-2x+a<0$ не має розв'язків. Система не має розв'язків при $a>1$.
   Якщо $D\ge 0$ (тобто $a\le 1$), корені: $x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2}=1\pm \sqrt{1-a}$. Нерівність виконується між коренями: $1-\sqrt{1-a}<x<1+\sqrt{1-a}$.
   Тепер враховуємо другу нерівність $x<a$. Потрібно знайти перетин інтервалів $(1-\sqrt{1-a};1+\sqrt{1-a})$ та $(-\infty ;a)$.
   Оскільки $a\le 1$, то $a<1+\sqrt{1-a}$ завжди. Границя права залежить від того, де знаходиться $a$ відносно лівої межі коренів.
   Ліва межа коренів: $x_1=1-\sqrt{1-a}$. Якщо $a<x_1$, то розв'язком буде $(a;1+\sqrt{1-a})$. Якщо $a\ge x_1$, то розв'язок — це весь інтервал коренів.
   Перевіримо умову $a\le 1-\sqrt{1-a}$. Нехай $t=\sqrt{1-a}$, тоді $a=1-t^2$. Умова стає $1-t^2\le 1-t\Rightarrow t^2-t\ge 0\Rightarrow t(t-1)\ge 0$. Оскільки $t\ge 0$, то $t\ge 1$, отже $\sqrt{1-a}\ge 1\Rightarrow 1-a\ge 1\Rightarrow a\le 0$.
   Отже, при $a\le 0$ розв'язок: $a<x<1+\sqrt{1-a}$. При $0<a\le 1$ розв'язок: $1-\sqrt{1-a}<x<1+\sqrt{1-a}$.

2. Розглянемо підпункт б). Дискримінант рівняння $x^2-3x+4a=0$: $D=9-16a$.
   Якщо $D<0$ ($a>\frac{9}{16}$), парабола завжди вище осі, нерівність $\ge 0$ виконується на всій прямій. Перетин з $x\le a$: розв'язок $(-\infty ;a]$.
   Якщо $D\ge 0$ ($a\le \frac{9}{16}$), корені $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9-16a}}{2}$. Нерівність виконується при $x\le x_1$ або $x\ge x_2$.
   Перетин з $x\le a$: оскільки $x_1<x_2$, то якщо $a\ge x_2$, розв'язок $(-\infty ;a]$. Якщо $a<x_2$, треба порівнювати $a$ і $x_1$.
   Порівняємо $a$ і корені. Це складно без графіка, але загалом: якщо $a>\frac{9}{16}$, то розв'язок $(-\infty ;a]$. Якщо $a\le \frac{9}{16}$, то розв'язок $(-\infty ;x_1]$ або частини інтервалів.
   Для 9 класу часто вимагають просто записати умову існування розв'язків або знайти конкретні значення, якщо параметр заданий числом. Оскільки параметр $a$ залишається, дамо загальний опис.

Розв’язання

1. Підпункт а). Рівняння $x^2-6x+a=0$. Дискримінант $D=36-4a$.
   Якщо $D<0$ ($a>9$), то $x^2-6x+a>0$ завжди (оскільки коефіцієнт при $x^2$ додатний). Нерівність $\le 0$ не має розв'язків. Система не має розв'язків при $a>9$.
   Якщо $D\ge 0$ ($a\le 9$), корені $x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4a}}{2}=3\pm \sqrt{9-a}$. Нерівність виконується між коренями: $3-\sqrt{9-a}\le x\le 3+\sqrt{9-a}$.
   Друга нерівність: $x\ge a$. Потрібно знайти перетин $[3-\sqrt{9-a};3+\sqrt{9-a}]$ та $[a;+\infty )$.
   Порівняємо $a$ з коренями. Якщо $a\le 3-\sqrt{9-a}$, то розв'язок $[a;3+\sqrt{9-a}]$. Якщо $a>3-\sqrt{9-a}$, то розв'язок $[3-\sqrt{9-a};3+\sqrt{9-a}]$ (але з умовою $x\ge a$, тобто перетин).
   Нехай $f(a)=3-\sqrt{9-a}$. Якщо $a=f(a)$, то $a-3=-\sqrt{9-a}\Rightarrow (a-3{)}^2=9-a\Rightarrow a^2-6a+9=9-a\Rightarrow a^2-5a=0\Rightarrow a=0$ або $a=5$.
   При $a=0$: корені $3\pm 3$, тобто $[0;6]$. Умова $x\ge 0$. Перетин $[0;6]$.
   При $a=5$: корені $3\pm 2$, тобто $[1;5]$. Умова $x\ge 5$. Перетин $\{5\}$.
   Отже, при $0<a\le 9$ розв'язок $[a;3+\sqrt{9-a}]$. При $a\le 0$: $[3-\sqrt{9-a};3+\sqrt{9-a}]$.

2. Підпункт б). Рівняння $x^2-2x-8a=0$. Дискримінант $D=4+32a$.
   Якщо $D<0$ ($a<-\frac{1}{8}$), то парабола завжди вище осі, нерівність $>0$ виконується всюди. Перетин з $x>a$: $(-\infty ;+\infty )\cap (a;+\infty )=(a;+\infty )$.
   Якщо $D\ge 0$ ($a\ge -\frac{1}{8}$), корені $x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+32a}}{2}=1\pm \sqrt{1+8a}$. Нерівність виконується при $x<x_1$ або $x>x_2$.
   Перетин з $x>a$: якщо $a\ge x_2$, то розв'язок $(a;+\infty )$. Якщо $a<x_2$, то розв'язок $(-\infty ;x_1)\cup (x_2;+\infty )$, але з умовою $x>a$ — це $(-\infty ;x_1)\cap (a;+\infty )=(a;x_1)$ (якщо $a<x_1$) або $(x_2;+\infty )$.
   Порівняємо $a$ і корені. Корінь $x_2=1+\sqrt{1+8a}$. Якщо $a=1+\sqrt{1+8a}$, то $(a-1{)}^2=1+8a\Rightarrow a^2-2a+1=1+8a\Rightarrow a^2-10a=0\Rightarrow a=0$ або $a=10$.
   При $a=0$: корені $\pm 1$, тобто $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. Умова $x>0$. Перетин $(0;1)\cup (1;+\infty )$? Ні, $x>0$ перетинає $(-\infty ;-1)$ нічого, а $(1;+\infty )$ повністю. І ще частина $(-\infty ;-1)$ не перетинається з $x>0$. Але є проміжок між коренями де нерівність не виконується. Тобто розв'язок: $(0;1)\cup (1;+\infty )$? Ні, при $a=0$ нерівність $x^2-2x>0\Rightarrow x(x-2)>0\Rightarrow x<0$ або $x>2$. Перетин з $x>0$: $(2;+\infty )$.
   Отже, аналіз показує складні кордони. Загалом: при $a<-\frac{1}{8}$: $(a;+\infty )$. При $-\frac{1}{8}\le a\le 0$: розв'язок $(x_2;+\infty )$ де $x_2=1+\sqrt{1+8a}$, але треба перевірити чи $a<x_2$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Рівняння: $(2a+3)x^2+6x+a=0$.
   - Якщо $2a+3=0$, тобто $a=-1,5$, рівняння стає лінійним: $6x-1,5=0$, воно має один корінь.
   - Якщо $2a+3\ne 0$, це квадратне рівняння. Знайдемо дискримінант $D=6^2-4(2a+3)(a)=36-8a^2-12a$.
   - Проаналізуй знак цього виразу: $-8a^2-12a+36$. Оскільки коефіцієнт при $a^2$ від'ємний, парабола розкривається вниз. Знайди корені дискримінанта відносно $a$: $D_a=(-12{)}^2-4(-8)(36)=144+1152>0$. Корені рівняння $-8a^2-12a+36=0$ дорівнюють приблизно $a\approx 1,7$ та $a\approx -2,6$.
   - Отже, при $a$ між цими значеннями $D>0$ (два корені), поза цією областю $D<0$ (немає коренів).

2. Розглянемо пункт б). Рівняння: $(a-3)x^2+(4(a-1)+1)x=0$, що спрощується до $(a-3)x^2+(4a-3)x=0$.
   - Видно, що $C=0$, отже один з коренів завжди дорівнює $0$ ($x_1=0$).
   - Другий корінь існує, якщо коефіцієнт при $x^2$ не дорівнює нулю. Якщо $a=3$, рівняння стає лінійним $9x=0$, що дає один корінь ($x=0$).
   - Отже, при будь-якому $a$ рівняння має хоча б один корінь. Якщо $a\ne 3$, є два корені (один з них нульовий).

Розв’язання

1. Для пункту а) $x^2<x+2$ запишемо рівняння параболи $y_1=x^2$ та прямої $y_2=x+2$. Знайдемо точки перетину, розв'язавши $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$, отже $x_1=-1;x_2=2$.

2. Оскільки парабола $y=x^2$ відкрита вгору, вона лежить нижче прямої між точками перетину. Отже, розв'язок: $-1<x<2$.

3. Для пункту б) $(x-2{)}^2\ge x$ запишемо $y_1=(x-2{)}^2$ та $y_2=x$. Точки перетину: $(x-2{)}^2=x\Rightarrow x^2-4x+4=x\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0$, отже $x_1=1;x_2=4$.

4. Оскільки парабола лежить вище або на прямій при $x\le 1$ та $x\ge 4$, розв'язок: $x\in (-\infty ;1]\cup [4;\infty )$.

5. Для пункту в) $x^2<x+1$ запишемо $y_1=x^2$ та $y_2=x+1$. Точки перетину: $x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0$. Дискримінант $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5$. Корені $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

6. Парабола лежить нижче прямої між коренями. Розв'язок: $x\in \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Розв’язання

1. Пункт а) $x^2-5x+6⩾0$. Знаходимо корені рівняння $x^2-5x+6=0$: $D=25-24=1$, $x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$, отже $x_1=3,x_2=2$. Оскільки парабола розкривається вгору ($a>0$), нерівність виконується при $x⩽2$ або $x⩾3$.

2. Пункт б) Спростимо: $x^2-2x-5<x^2-7$. Віднімемо $x^2$ від обох частин: $-2x-5<-7$. Перенесемо числа: $-2x<-2$, поділимо на $-2$ (знак нерівності змінюється): $x>1$.

3. Пункт в) Спростимо ліву частину: $(x+4)(x+3)=x^2+7x+12$. Нерівність набуває вигляду $x^2+7x+12⩽3x$. Перенесемо $3x$ у ліву частину: $x^2+4x+12⩽0$. Знайдемо дискримінант: $D=4^2-4\cdot 1\cdot 12=16-48=-32<0$. Оскільки $a>0$ і $D<0$, парабола повністю знаходиться над віссю $x$, тобто вираз завжди додатний. Нерівність $⩽0$ розв'язків не має.

Розв’язання

1. а) Виразимо $y$ із другого рівняння: $y=6-x$. Підставимо в перше: $x^2-(6-x)=2\Rightarrow x^2+x-8=0$. Корені: $x_1=2,x_2=-4$. Знаходимо $y$: якщо $x=2$, то $y=4$; якщо $x=-4$, то $y=10$.

2. б) Виразимо $y$ із другого рівняння: $y=x+5$. Підставимо в перше: $x^2+(x+5)=-4\Rightarrow x^2+x+9=0$. Дискримінант $D=1-36=-35<0$, розв'язків немає.

3. в) Виразимо $y$ із другого рівняння: $y=9-3x$. Підставимо в перше: $x^2-(9-3x)=16\Rightarrow x^2+3x-25=0$. Корені: $x_1=\frac{-3+\sqrt{109}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{109}}{2}$. Знаходимо $y$ для кожного кореня.

Розв’язання

1. Складаємо рівняння: $\frac{2600}{x}-\frac{2600}{x+3}=60$.

2. Помножимо на $x(x+3)$, щоб позбутися знаменників: $2600(x+3)-2600x=60x(x+3)$.

3. Спростимо: $2600x+7800-2600x=60x^2+180x\Rightarrow 7800=60x^2+180x$.

4. Поділимо на 60: $x^2+3x-130=0$. Корені: $D=9+520=529$, $\sqrt{D}=23$. $x_1=\frac{-3+23}{2}=10$, $x_2=\frac{-3-23}{2}=-13$ (не підходить).

Розв’язання

1. а) $9\cdot (-0,5)=-4,5$. Для $x$: $x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$. Для $y$: $y\cdot y=y^2$. Отже, $-4,5x^4{y}^2$.

2. б) $(-0,5)\cdot (-24)=12$. Для $a$: $a\cdot a^2=a^{1+2}=a^3$. Для $b$: $b^3\cdot b^3=b^{3+3}=b^6$. Отже, $12a^3{b}^6$.