ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 127

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 620–631 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Завдання 620

Розв'язання квадратних нерівностей

Знайти цілі розв'язки для чотирьох підпунктів: а) $x^{2} + 5 x - 6 < 0$ ; б) $x^{2} - x - 6 < 0$ ; в) $3 x^{2} - 8 x \leq 0$ ; г) $3 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо рівняння $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ . Корені: $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 1$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола відкрита вгору. Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 6 < x < 1$ . Цілі числа: ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0}$ .
б) Рівняння $x^{2} - x - 6 = 0$ має корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 3$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 2 < x < 3$ . Цілі числа: ${- 1, 0, 1, 2}$ .
в) Рівняння $3 x^{2} - 8 x = 0$ має корені $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{8}{3} \approx 2, 67$ . Нерівність $\leq 0$ виконується між коренями: $0 \leq x \leq \frac{8}{3}$ . Цілі числа: ${0, 1, 2}$ .
г) Рівняння $3 - x^{2} = 0$ має корені $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки $- 3 \approx - 1, 73$ і $3 \approx 1, 73$ , нерівність $\geq 0$ виконується між коренями: $- 3 \leq x \leq 3$ . Цілі числа: ${- 1, 0, 1}$ .

Відповідь:

а) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0}$ ; б) ${- 1, 0, 1, 2}$ ; в) ${0, 1, 2}$ ; г) ${- 1, 0, 1}$ .

Завдання 621

Розв'язання квадратних нерівностей з різними знаками

Знайти цілі розв'язки для чотирьох підпунктів: а) $x^{2} + 2 x - 8 < 0$ ; б) $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$ ; в) $2 x^{2} - 7 x \leq 0$ ; г) $5 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 4 < x < 2$ . Цілі числа: ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ .
б) Рівняння $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ має один корень $x = 2$ . Оскільки квадрат завжди невід'ємний, нерівність $\leq 0$ виконується лише при $x = 2$ .
в) Корені рівняння $2 x^{2} - 7 x = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{7}{2} = 3, 5$ . Нерівність $\leq 0$ виконується між коренями: $0 \leq x \leq 3, 5$ . Цілі числа: ${0, 1, 2, 3}$ .
г) Корені рівняння $5 - x^{2} = 0$ : $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки $- 5 \approx - 2, 24$ і $5 \approx 2, 24$ , нерівність $\geq 0$ виконується між коренями: $- 5 \leq x \leq 5$ . Цілі числа: ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Відповідь:

а) ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ ; б) ${2}$ ; в) ${0, 1, 2, 3}$ ; г) ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Завдання 622

Задача на розташування прожектора

Сила світла $I (x)$ залежить від відстані $x$ за формулою $I (x) = - x^{2} + 10 x$ . Потрібно знайти цілі значення $x$ , при яких сила світла більша за $21$ кд ( $I (x) > 21$ ).

Розв’язання

Складемо нерівність: $- x^{2} + 10 x > 21$ . Перенесемо все в ліву частину: $- x^{2} + 10 x - 21 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 10 x + 21 < 0$ .
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ . Дискримінант $D = 100 - 84 = 16$ . Корені: $x_{1} = \frac{10 - 4}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ у початковій нерівності після перетворень був додатним, а знак нерівності $< 0$ , розв'язок знаходимо між коренями: $3 < x < 7$ .
Знайдемо цілі числа в проміжку $(3; 7)$ . Це числа $4, 5, 6$ .

Відповідь:

Прожектор слід розташувати на відстані $4 м$ , $5 м$ або $6 м$ .

Завдання 623

Площа саду з парканом

Прямокутна ділянка під сад прилягає до стіни будинку. Для огородження трьох інших сторін використано 90 м паркану. Познач сторону, що прилягає до стіни, за $x$ . Знайти найбільше значення $x$ і довжину третьої сторони (перпендикулярної до стіни) при цьому значенні $x$ , щоб площа саду була не меншою від $400 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Оскільки парканом огороджені одна сторона $x$ (паралельна стіні) і дві сторони $y$ , маємо рівність $x + 2 y = 90$ . Звідси $y = \frac{90 - x}{2} = 45 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 400$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (45 - 0, 5 x) ⩾ 400$ .
Спростимо нерівність: $45 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 400$ , або $- 0, 5 x^{2} + 45 x - 400 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 90 x + 800 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені відповідної квадратної рівності $x^{2} - 90 x + 800 = 0$ : $D = (- 90)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 8100 - 3200 = 4900$ . $D = 70$ . Корені: $x_{1} = \frac{90 - 70}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{90 + 70}{2} = 80$ .
Оскільки нерівність має знак «менше або дорівнює», розв'язком є проміжок між коренями: $10 ⩽ x ⩽ 80$ . Найбільше значення $x$ — це $80$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 80$ : $y = 45 - 0, 5 \cdot 80 = 45 - 40 = 5 (м)$ . Перевірка площі: $80 \cdot 5 = 400 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найбільше значення $x = 80 м$ , довжина третьої сторони $5 м$ .

Завдання 624

Площа клумби з парканом

Прямокутна клумба прилягає до стіни. Для огородження трьох інших сторін витрачено 88 м паркану. Познач сторону, що прилягає до стіни, за $x$ . Знайти найменше значення $x$ і довжину третьої сторони (перпендикулярної до стіни) при цьому значенні $x$ , щоб площа клумби була не менше від $576 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Маємо рівність $x + 2 y = 88$ , звідки $y = \frac{88 - x}{2} = 44 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 576$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (44 - 0, 5 x) ⩾ 576$ .
Спростимо нерівність: $44 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 576$ , або $- 0, 5 x^{2} + 44 x - 576 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (змінюємо знак нерівності): $x^{2} - 88 x + 1152 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені рівності $x^{2} - 88 x + 1152 = 0$ : $D = (- 88)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1152 = 7744 - 4608 = 3136$ . $D = 56$ . Корені: $x_{1} = \frac{88 - 56}{2} = 16$ , $x_{2} = \frac{88 + 56}{2} = 72$ .
Розв'язком нерівності є проміжок $[16; 72]$ . Найменше значення $x$ — це $16$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 16$ : $y = 44 - 0, 5 \cdot 16 = 44 - 8 = 36 (м)$ . Перевірка площі: $16 \cdot 36 = 576 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найменше значення $x = 16 м$ , довжина третьої сторони $36 м$ .

Завдання 625

Розв'язання нерівностей

а) $(3 x - 1) (x + 3) > x (1 + 5 x)$ ;
б) $(x + 4) (2 x - 3) - (5 x - 6) (x - 3) ⩾ 10$ ;
в) $(3 x - 2)^{2} ⩾ 8 (x - 1)^{2} + 17$ ;
г) $\frac{x ^{2} + x}{2} - \frac{5 x + 1}{3} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ .

Розв’язання

а) Розкриємо дужки: $3 x^{2} + 9 x - x - 3 > x + 5 x^{2}$ . Спростимо: $3 x^{2} + 8 x - 3 > 5 x^{2} + x$ . Перенесемо все вліво: $- 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (змінюємо знак): $2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ . Знайдемо корені $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $D = 49 - 24 = 25$ , $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, а знак нерівності «менше», розв'язок між коренями: $0, 5 < x < 3$ .
б) Розкриємо дужки: $(2 x^{2} + 5 x - 12) - (5 x^{2} - 21 x + 18) ⩾ 10$ . Спростимо: $- 3 x^{2} + 16 x - 30 ⩾ 10$ , тобто $- 3 x^{2} + 16 x - 40 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ : $3 x^{2} - 16 x + 40 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 256 - 480 < 0$ . Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , парабола знаходиться повністю вище осі $O x$ , тому нерівність $⩽ 0$ не має розв'язків.
в) Розкриємо дужки: $(9 x^{2} - 12 x + 4) ⩾ 8 (x^{2} - 2 x + 1) + 17$ . Спростимо: $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 8 + 17$ , тобто $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 25$ . Перенесемо все вліво: $x^{2} + 4 x - 21 ⩾ 0$ . Знайдемо корені $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ : $D = 16 + 84 = 100$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ . Оскільки знак «більше або дорівнює», розв'язок: $x ⩽ - 7$ або $x ⩾ 3$ .
г) Знайдемо спільний знаменник (6): $\frac{3 ( x ^{2} + x )}{6} - \frac{2 ( 5 x + 1 )}{6} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ . Помножимо на 6: $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2 ⩽ x - 7$ . Спростимо: $3 x^{2} - 7 x - 2 ⩽ x - 7$ , тобто $3 x^{2} - 8 x + 5 ⩽ 0$ . Знайдемо корені $3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ : $D = 64 - 60 = 4$ , $x_{1} = \frac{8 - 2}{6} = 1$ , $x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}$ . Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок між коренями: $1 ⩽ x ⩽ \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 3)$ ; б) $\emptyset$ (немає розв'язків); в) $(- \infty; - 7] \cup [3; + \infty)$ ; г) $[1; \frac{5}{3}]$ .

Завдання 626

Розв'язання нерівностей з розкриттям дужок

а) $(x - 2) (x + 2) + x (x + 7) ⩽ 0$ ;
б) $(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$ ;
в) $(x - 5)^{2} + 6 x ⩾ 2 (2 x + 1)^{2} - 29$ ;
г) $\frac{x ^{2} + 2 x}{3} - \frac{3 x + 5}{4} ⩽ \frac{1 - 7 x}{6}$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 + x^{2} + 7 x ⩽ 0$ . Збираємо подібні: $2 x^{2} + 7 x - 4 ⩽ 0$ . Знаходимо дискримінант рівняння $2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ : $D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 9}{4}$ . Отже, $x_{1} = \frac{2}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{- 16}{4} = - 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується між коренями: $[- 4; 0, 5]$ .
Пункт б): Розкриваємо дужки обох частин: $3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 16 x + 12 + 4$ . Переносимо все в ліву частину: $x^{2} + 5 x - 20 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} + 5 x - 20 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot (- 20) = 105$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 105}{2}$ . Відповідь: $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ .
Пункт в): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 + 6 x ⩾ 2 (4 x^{2} + 4 x + 1) - 29$ . Спростимо праву частину: $8 x^{2} + 8 x + 2 - 29 = 8 x^{2} + 8 x - 27$ . Переносимо в ліву: $- 7 x^{2} - 14 x + 52 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $7 x^{2} + 14 x - 52 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 196 - 4 \cdot 7 \cdot (- 52) = 196 + 1456 = 1652$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1652}{14} = \frac{- 14 \pm 2 413}{14} = \frac{- 7 \pm 413}{7}$ . Відповідь: $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ .
Пункт г): Приводимо до спільного знаменника 12: $\frac{4 ( x ^{2} + 2 x ) - 3 ( 3 x + 5 )}{12} ⩽ \frac{2 ( 1 - 7 x )}{12}$ . Спрощуємо чисельник лівої частини: $4 x^{2} + 8 x - 9 x - 15 = 4 x^{2} - x - 15$ . Нерівність стає: $\frac{4 x ^{2} - x - 15}{12} ⩽ \frac{2 - 14 x}{12}$ . Помножимо на 12: $4 x^{2} - x - 15 ⩽ 2 - 14 x$ . Переносимо все в ліву: $4 x^{2} + 13 x - 17 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 169 - 4 \cdot 4 \cdot (- 17) = 169 + 272 = 441$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 21}{8}$ . $x_{1} = \frac{8}{8} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 34}{8} = - 4, 25$ . Відповідь: $[- 4, 25; 1]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 5]$ ; б) $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ ; в) $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ ; г) $[- 4, 25; 1]$ .

Завдання 627

Розв'язання нерівності з спільним множником

$(x + 4) (x - 8) > 3 (x - 8)$ .

Розв’язання

Переносимо праву частину в ліву: $(x + 4) (x - 8) - 3 (x - 8) > 0$ .
Розкриваємо дужки: $x^{2} - 8 x + 4 x - 32 - 3 x + 24 > 0$ .
Збираємо подібні доданки: $x^{2} - 7 x - 8 > 0$ .
Знаходимо корені рівняння $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ : $D = 49 + 32 = 81$ , $x_{1, 2} = \frac{7 \pm 9}{2}$ . Корені: $x_{1} = 8$ , $x_{2} = - 1$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a > 0$ ), нерівність виконується поза коренями (знаки протилежні).

Відповідь:

$(- \infty; - 1) \cup (8; + \infty)$ . Це варіант А.

Завдання 628

Порівняння функцій через нерівність

При яких значеннях $x$ виконується нерівність $2 x + 2 > y$ , де $y = x^{2} - 3 x - 4$ (пункт а) та $y = 4 x^{2} + 9 x - 13$ (пункт б)?

Розв’язання

Пункт а): Складаємо нерівність: $2 x + 2 > x^{2} - 3 x - 4$ . Переносимо все в ліву частину: $0 > x^{2} - 5 x - 6$ , або $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ : $(x - 6) (x + 1) = 0$ , отже $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 1$ . Оскільки знак «менше», розв'язок між коренями: $(- 1; 6)$ .
Пункт б): Складаємо нерівність: $2 x + 2 > 4 x^{2} + 9 x - 13$ . Переносимо все в ліву частину: $0 > 4 x^{2} + 7 x - 15$ , або $4 x^{2} + 7 x - 15 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $4 x^{2} + 7 x - 15 = 0$ : $D = 49 - 4 \cdot 4 \cdot (- 15) = 49 + 240 = 289$ . $D = 17$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 17}{8}$ . $x_{1} = \frac{10}{8} = 1, 25$ , $x_{2} = \frac{- 24}{8} = - 3$ . Розв'язок між коренями: $(- 3; 1, 25)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 1; 6)$ ; б) $x \in (- 3; 1, 25)$ .

Завдання 629

Порівняння квадратичних функцій

Знайти $x$ , при яких $3 x^{2} + 5 x - 1 < 4 x^{2} + 9 x - 13$ .

Розв’язання

Перенесемо всі доданки вліво: $(3 x^{2} + 5 x - 1) - (4 x^{2} + 9 x - 13) < 0$ .
Спростимо вираз: $- x^{2} - 4 x + 12 < 0$ .
Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $x^{2} + 4 x - 12 > 0$ .
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ : $D = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 64$ , $x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8}{2}$ , отже $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 2$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, розв'язок знаходимо за зовнішніми проміжками: $x < - 6$ або $x > 2$ .

Відповідь:

$(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$

Завдання 630

Область визначення функції з коренем і дрібом

Знайти область визначення функції $y = \frac{8 + 7 x - x ^{2}}{x - 2}$ .

Розв’язання

Запишемо умови: $8 + 7 x - x^{2} \geq 0$ та $x - 2 \neq = 0$ .
Розв'яжемо нерівність $- x^{2} + 7 x + 8 \geq 0$ : корені рівняння $- x^{2} + 7 x + 8 = 0$ ( $D = 49 + 32 = 81$ , $x = \frac{- 7 \pm 9}{- 2}$ ) — $x_{1} = - 1, x_{2} = 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями: $- 1 \leq x \leq 8$ .
Врахуємо обмеження знаменника: $x \neq = 2$ .
Об'єднаємо умови: $x \in [- 1; 2) \cup (2; 8]$ .

Відповідь:

$[- 1; 2) \cup (2; 8]$

Завдання 631

Область визначення функції з модулем і коренем

Знайти область визначення функції $y = \frac{3 - 5 x - 2 x ^{2}}{x + 1}$ .

Розв’язання

Запишемо умови: $- 2 x^{2} - 5 x + 3 \geq 0$ та $x \neq = - 1$ .
Розв'яжемо нерівність $- 2 x^{2} - 5 x + 3 \geq 0$ : корені рівняння $- 2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ( $D = 25 + 24 = 49$ , $x = \frac{5 \pm 7}{- 4}$ ) — $x_{1} = - 3, x_{2} = 0, 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями: $- 3 \leq x \leq 0, 5$ .
Врахуємо обмеження знаменника: $x \neq = - 1$ .
Об'єднаємо умови: $x \in [- 3; - 1) \cup (- 1; 0, 5]$ .

Відповідь:

$[- 3; - 1) \cup (- 1; 0, 5]$