ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 126

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 604–619 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Завдання 604

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $y^{2} - 4 y - 5 < 0$ ; б) $x^{2} + 6 x + 8 \leq 0$ ; в) $z^{2} + 6 z - 7 \geq 0$ ; г) $6 x^{2} - x > 0$ ; ґ) $2 x^{2} + 7 x \geq 0$ ; д) $x^{2} - 9 < 0$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $y^{2} - 4 y - 5 = 0$ : $D = 16 + 20 = 36$ , $y_{1, 2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ , отже $y_{1} = - 1, y_{2} = 5$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між коренями: $- 1 < y < 5$ .
б) Корені рівняння $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ : $D = 36 - 32 = 4$ , $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2}$ , отже $x_{1} = - 4, x_{2} = - 2$ . Знак «менше або дорівнює», тому проміжок із замкненими кінцями: $[- 4; - 2]$ .
в) Корені рівняння $z^{2} + 6 z - 7 = 0$ : $D = 36 + 28 = 64$ , $z_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , отже $z_{1} = - 7, z_{2} = 1$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ .
г) Корені рівняння $6 x^{2} - x = 0$ : $x (6 x - 1) = 0$ , отже $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1}{6}$ . Знак «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ .
ґ) Корені рівняння $2 x^{2} + 7 x = 0$ : $x (2 x + 7) = 0$ , отже $x_{1} = - \frac{7}{2}, x_{2} = 0$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $[- \frac{7}{2}; 0] \cup [0; + \infty)$ , що спрощується до $[- \frac{7}{2}; + \infty)$ .
д) Корені рівняння $x^{2} - 9 = 0$ : $x_{1} = - 3, x_{2} = 3$ . Знак «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 3)$ .

Відповідь:

а) $y \in (- 1; 5)$ ; б) $x \in [- 4; - 2]$ ; в) $z \in (- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ ; ґ) $x \in [- 3, 5; + \infty)$ ; д) $x \in (- 3; 3)$ .

Завдання 605

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ ; б) $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ; в) $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ ; г) $x^{2} - 2 x \geq 0$ ; ґ) $3 x^{2} - 5 x < 0$ ; д) $x^{2} - 36 \geq 0$ .

Розв’язання

а) Корені $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ : $(x - 1) (x - 2) = 0$ , $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Нерівність «менше або дорівнює», тому проміжок між коренями: $[1; 2]$ .
б) Корені $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : $(x - 1) (x - 3) = 0$ , $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Нерівність «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .
в) Корені $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ : $(x - 5) (x + 3) = 0$ , $x_{1} = - 3, x_{2} = 5$ . Нерівність «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 5)$ .
г) Корені $x^{2} - 2 x = 0$ : $x (x - 2) = 0$ , $x_{1} = 0, x_{2} = 2$ . Нерівність «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .
ґ) Корені $3 x^{2} - 5 x = 0$ : $x (3 x - 5) = 0$ , $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{5}{3}$ . Нерівність «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(0; \frac{5}{3})$ .
д) Корені $x^{2} - 36 = 0$ : $x_{1} = - 6, x_{2} = 6$ . Нерівність «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $(- \infty; - 6] \cup [6; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in [1; 2]$ ; б) $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ ; в) $x \in (- 3; 5)$ ; г) $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ ; ґ) $x \in (0; \frac{5}{3})$ ; д) $x \in (- \infty; - 6] \cup [6; + \infty)$ .

Завдання 606

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ ; б) $y^{2} - 8 y + 16 < 0$ ; в) $x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ ; г) $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ; ґ) $y^{2} - 4 y + 12 > 0$ ; д) $2 x^{2} - 3 x + 5 < 0$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, але в умові знак «більше нуля», тому розв'язків немає (вираз дорівнює нулю тільки при $x = 3$ ).
б) $y^{2} - 8 y + 16 = (y - 4)^{2}$ . Аналогічно, $(y - 4)^{2} < 0$ неможливо для дійсних чисел, тому розв'язків немає.
в) $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Нерівність $(x + 2)^{2} \leq 0$ виконується тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x = - 2$ .
г) $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ . Нерівність $(x - 1)^{2} \geq 0$ виконується для всіх дійсних $x$ , оскільки квадрат завжди невід'ємний: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
ґ) $y^{2} - 4 y + 12$ . Дискримінант $D = 16 - 48 = - 32 < 0$ , старший коефіцієнт $1 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність виконується для всіх дійсних $y$ : $y \in (- \infty; + \infty)$ .
д) $2 x^{2} - 3 x + 5$ . Дискримінант $D = 9 - 40 = - 31 < 0$ , старший коефіцієнт $2 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність «менше нуля» не має розв'язків.

Відповідь:

а) $\emptyset$ (немає розв'язків); б) $\emptyset$ ; в) $x = - 2$ ; г) $x \in (- \infty; + \infty)$ ; ґ) $y \in (- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Завдання 607

Розв'язання квадратних нерівностей з повним тричленом

а) $x^{2} + 10 x + 25 ⩾ 0$ ;
б) $4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ;
в) $x^{2} - 12 x + 36 < 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 ⩽ 0$ ;
ґ) $x^{2} + 2 x + 6 > 0$ ;
д) $x^{2} + x + 7 < 0$ .

Розв’язання

а) Тричлен $x^{2} + 10 x + 25$ розкладається на множники як $(x + 5)^{2}$ . Оскільки будь-яке число в квадраті невід'ємне, то $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ виконується для всіх дійсних $x$ .
б) Вираз $4 x^{2} + 4 x + 1$ є повним квадратом $(2 x + 1)^{2}$ . Він завжди $⩾ 0$ , але в умові потрібно знайти значення, де він строго більше нуля. Це виконується при всіх $x$ , крім кореня рівняння $2 x + 1 = 0$ , тобто $x \neq = - 0, 5$ .
в) Тричлен $x^{2} - 12 x + 36$ дорівнює $(x - 6)^{2}$ . Нерівність $(x - 6)^{2} < 0$ не має розв'язків, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від'ємним.
г) Вираз $9 x^{2} + 6 x + 1$ є повним квадратом $(3 x + 1)^{2}$ . Нерівність $(3 x + 1)^{2} ⩽ 0$ виконується лише в тому випадку, якщо вибір дорівнює нулю. Це стається при $3 x + 1 = 0$ , тобто $x = - \frac{1}{3}$ .
ґ) Дискримінант тричлена $x^{2} + 2 x + 6$ від'ємний ( $D = 4 - 24 = - 20 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому графік параболи розташований повністю над віссю $O x$ . Нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) Дискримінант тричлена $x^{2} + x + 7$ від'ємний ( $D = 1 - 28 = - 27 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому функція завжди додатна. Нерівність $x^{2} + x + 7 < 0$ не має розв'язків.

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ;
б) $(- \infty; - 0, 5) \cup (- 0, 5; + \infty)$ ;
в) $\emptyset$ (не має розв'язків);
г) ${- \frac{1}{3}}$ ;
ґ) $(- \infty; + \infty)$ ;
д) $\emptyset$ (не має розв'язків).

Завдання 608

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

а) $- 2 x^{2} - 3 x - 1 ⩾ 0$ ;
б) $- x^{2} + 6 x - 8 < 0$ ;
в) $- y^{2} - 4 y + 12 < 0$ ;
г) $3 x - x^{2} ⩾ 0$ ;
ґ) $5 x - 2 x^{2} < 0$ ;
д) $16 - x^{2} ⩾ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 3 x + 1 ⩽ 0$ . Розкладаємо на множники: $(2 x + 1) (x + 1) ⩽ 0$ . Корені рівняння: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x - 2) (x - 4) > 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $y^{2} + 4 y - 12 > 0$ . Розкладаємо: $(y + 6) (y - 2) > 0$ . Корені: $y_{1} = - 6$ , $y_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
г) Записуємо як $x (3 - x) ⩾ 0$ або розкладаємо $- x^{2} + 3 x = - x (x - 3)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки старший коефіцієнт від'ємний, нерівність виконується між коренями.
ґ) Записуємо як $x (5 - 2 x) < 0$ або розкладаємо $- x (5 - 2 x) = - x (5 - 2 x)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
д) Перепишемо як $- (x^{2} - 16) ⩾ 0$ , тобто $(x - 4) (x + 4) ⩽ 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується між коренями.

Відповідь:

а) $[- 1; - 0, 5]$ ;
б) $(- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ;
г) $[0; 3]$ ;
ґ) $(- \infty; 0) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
д) $[- 4; 4]$ .

Завдання 609

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом та дробовими коефіцієнтами

а) $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ ;
б) $- 0, 5 x^{2} - x + 4 < 0$ ;
в) $- 3 z^{2} + 5 z + 12 ⩾ 0$ ;
г) $5 x - x^{2} < 0$ ;
ґ) $9 x - 2 x^{2} ⩾ 0$ ;
д) $25 - x^{2} ⩽ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Розкладаємо: $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $0, 5 x^{2} + x - 4 > 0$ . Щоб уникнути дробів, помножимо ще на 2: $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x + 4) (x - 2) > 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $3 z^{2} - 5 z - 12 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 12) = 169$ . Корені: $z_{1} = \frac{5 - 13}{6} = - \frac{4}{3}$ , $z_{2} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{9}{3} = 3$ . Нерівність виконується між коренями.
г) Записуємо як $x (5 - x) < 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
ґ) Записуємо як $x (9 - 2 x) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується між коренями.
д) Розкладаємо на множники: $(5 - x) (5 + x) ⩽ 0$ або $- (x - 5) (x + 5) ⩽ 0$ , що еквівалентно $(x - 5) (x + 5) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Нерівність виконується за межі коренів.

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ;
б) $(- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ ;
в) $[- \frac{4}{3}; 3]$ ;
г) $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ ;
ґ) $[- \frac{9}{2}; 0] \cup [4, 5; + \infty)$ — правильніше: $[0; 4, 5]$ ;
д) $(- \infty; - 5] \cup [5; + \infty)$ .

Завдання 610

Розв'язання квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 3 x + 1 > 0$ ;
б) $2 x^{2} + x - 2 \leq 0$ ;
в) $2 x^{2} - 3 < 0$ .

Розв’язання

а) Дискримінант $Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{2}$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}; + \infty)$ .
б) Дискримінант $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 17 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 17}{4}$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[\frac{- 1 - 17}{4}; \frac{- 1 + 17}{4}]$ .
в) Дискримінант $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 24 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \pm 1, 5$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $(- 1, 5; 1, 5)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}; + \infty)$ ;
б) $x \in [\frac{- 1 - 17}{4}; \frac{- 1 + 17}{4}]$ ;
в) $x \in (- 1, 5; 1, 5)$ .

Завдання 611

Розв'язання квадратних нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

а) $x^{2} - 4 x - 2 > 0$ ;
б) $3 x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ ;
в) $5 x^{2} - 10 < 0$ .

Розв’язання

а) $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 24$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 24}{2} = 2 \pm 6$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; 2 - 6) \cup (2 + 6; + \infty)$ .
б) $Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 28$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 28}{6} = \frac{1 \pm 7}{3}$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[\frac{1 - 7}{3}; \frac{1 + 7}{3}]$ .
в) $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 10) = 200$ . Корені $x_{1, 2} = \pm 2$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $(- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 2 - 6) \cup (2 + 6; + \infty)$ ;
б) $x \in [\frac{1 - 7}{3}; \frac{1 + 7}{3}]$ ;
в) $x \in (- 2; 2)$ .

Завдання 612

Розв'язання нерівностей з дужками та перетворенням

а) $x (x - 3) < - 2$ ;
б) $2 (z^{2} + 5) > 9 z$ ;
в) $13 - (5 - y)^{2} > 3 y$ ;
г) $(x - 3) (x + 5) > 0$ ;
ґ) $(x + 2) (x + 7) < 24$ ;
д) $(2 x - 1) (x + 3) + 8 > 2 (x + 2)$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 3 x < - 2 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Корені $x_{1, 2} = 1, 2$ . Розв'язок: $(1; 2)$ .
б) $2 z^{2} + 10 > 9 z \Rightarrow 2 z^{2} - 9 z + 10 > 0$ . Корені $z_{1, 2} = 2, 2, 5$ . Розв'язок: $(- \infty; 2) \cup (2, 5; + \infty)$ .
в) $13 - (25 - 10 y + y^{2}) > 3 y \Rightarrow 13 - 25 + 10 y - y^{2} > 3 y \Rightarrow - y^{2} + 7 y - 12 > 0$ . Помножимо на $- 1$ : $y^{2} - 7 y + 12 < 0$ . Корені $y_{1, 2} = 3, 4$ . Розв'язок: $(3; 4)$ .
г) Корені тричлена $x^{2} + 2 x - 15$ це $- 5$ і $3$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$ .
ґ) Розкриємо дужки: $x^{2} + 9 x + 14 < 24 \Rightarrow x^{2} + 9 x - 10 < 0$ . Корені $x_{1, 2} = - 10, 1$ . Розв'язок: $(- 10; 1)$ .
д) Розкриємо дужки: $2 x^{2} + 5 x - 3 + 8 > 2 x + 4 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = - 1, - 0, 5$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (1; 2)$ ;
б) $z \in (- \infty; 2) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
в) $y \in (3; 4)$ ;
г) $x \in (- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$ ;
ґ) $x \in (- 10; 1)$ ;
д) $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Завдання 613

Розв'язання нерівностей з розкритими дужками

а) $x (2 + x) ⩾ 3$ ;
б) $6 (t^{2} + 1) < 13 t$ ;
в) $5 y - (y - 2)^{2} < - 14$ ;
г) $(x - 2) (x + 3) < 0$ ;
ґ) $(a + 2) (a - 5) ⩽ 18$ ;
д) $(2 - c) (3 - c) ⩾ - 2 (c - 23)$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $2 x + x^{2} ⩾ 3$ . Переносимо $3$ вліво: $x^{2} + 2 x - 3 ⩾ 0$ . Знаходимо корені рівності $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ , $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Функція параболою розкривається вгору, тому вона додатна поза коренями.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $6 t^{2} + 6 < 13 t$ . Переносимо все вліво: $6 t^{2} - 13 t + 6 < 0$ . Знаходимо корені рівності $6 t^{2} - 13 t + 6 = 0$ : $D = 169 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 49$ , $t_{1} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{1}{2}$ , $t_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{3}{2}$ . Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $5 y - (y^{2} - 4 y + 4) < - 14 \Rightarrow 5 y - y^{2} + 4 y - 4 < - 14$ . Збираємо подібні: $- y^{2} + 9 y + 10 < 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $y^{2} - 9 y - 10 > 0$ . Корені рівності $y^{2} - 9 y - 10 = 0$ : $D = 81 + 40 = 121$ , $y_{1} = \frac{9 - 11}{2} = - 1$ , $y_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ . Нерівність виконується поза коренями.
Пункт г): Це стандартна нерівність виду $(x - x_{1}) (x - x_{2}) < 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 3$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок знаходимо між коренями.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки: $a^{2} - 3 a - 10 ⩽ 18 \Rightarrow a^{2} - 3 a - 28 ⩽ 0$ . Корені рівності $a^{2} - 3 a - 28 = 0$ : $D = 9 + 112 = 121$ , $a_{1} = \frac{3 - 11}{2} = - 4$ , $a_{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7$ . Нерівність виконується між коренями.
Пункт д): Розкриваємо дужки: $(6 - 5 c - 6 c + c^{2}) ⩾ - 2 c + 46 \Rightarrow c^{2} - 11 c + 6 ⩾ - 2 c + 46$ . Переносимо все вліво: $c^{2} - 9 c - 40 ⩾ 0$ . Корені рівності $c^{2} - 9 c - 40 = 0$ : $D = 81 + 160 = 241$ , $c_{1, 2} = \frac{9 \pm 241}{2}$ . Нерівність виконується поза коренями.

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ ;
б) $t \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ;
в) $y \in (- \infty; - 1) \cup (10; + \infty)$ ;
г) $x \in (- 3; 2)$ ;
ґ) $a \in [- 4; 7]$ ;
д) $c \in (- \infty; \frac{9 - 241}{2}] \cup [\frac{9 + 241}{2}; + \infty)$ .

Завдання 614

Розв'язання нерівності з модулем (ЗНО)

Розв'яжи нерівність $(x + 4)^{2} ⩽ 16$ .

Розв’язання

Розкриваємо квадрат: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ . Нерівність набуває вигляду $x^{2} + 8 x + 16 ⩽ 16$ .
Віднімаємо $16$ від обох частин: $x^{2} + 8 x ⩽ 0$ .
Виносимо спільний множник $x$ : $x (x + 8) ⩽ 0$ .
Знаходимо корені рівності $x (x + 8) = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 8$ .
Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок знаходимо між коренями (включно з ними).

Відповідь:

$x \in [- 8; 0]$ . Це варіант Д.

Завдання 615

Розв'язання нерівності з двома множниками (ЗНО)

Розв'яжи нерівність $(x + 3) (x - 2) < 0$ .

Розв’язання

Знаходимо корені рівності $(x + 3) (x - 2) = 0$ : $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$ .
Будуємо схематично знак функції на числовій прямій (парабола розкривається вгору).
Знаходимо проміжок між коренями, де функція знаходиться нижче осі абсцис ( $y < 0$ ).

Відповідь:

$x \in (- 3; 2)$ . Це варіант Б.

Завдання 616

Знаходження знаків функції

y = x^{2} + 3 x

Дано квадратичну функцію $y = x^{2} + 3 x$ . Потрібно визначити, при яких значеннях $x$ ця функція набуває від'ємних значень, а при яких — додатних.

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 3 x = 0$ : $x (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = 0$ та $x_{2} = - 3$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ ( $a > 0$ ), гілки параболи розкриваються вгору.
Функція від'ємна на проміжку між коренями: $- 3 < x < 0$ .
Функція додатна при $x < - 3$ або $x > 0$ .

Відповідь:

Від'ємні значення при $x \in (- 3; 0)$ , додатні — при $x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ .

Завдання 617

Аналіз знаків функцій

y = f (x)

Дано три функції та потрібно визначити, при яких $x$ вони додатні, а при яких від'ємні:
а) $f (x) = 9 - x^{2}$ ;
б) $f (x) = x^{2} + 6 x - 7$ ;
в) $f (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Розв’язання

а) Рівняння $9 - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Оскільки $a = - 1 < 0$ (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.
б) Рівняння $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ . Дискримінант $D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 64$ , корені: $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , тобто $x_{1} = - 7, x_{2} = 1$ . Оскільки $a = 1 > 0$ (гілки вгору), функція додатна при $x < - 7$ або $x > 1$ , від'ємна — між коренями.
в) Рівняння $- x^{2} + 2 x + 3 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 4 - 4 \cdot (- 3) = 16$ , корені: $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 4}{2}$ , тобто $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Оскільки вихідна функція має $a = - 1 < 0$ (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.

Відповідь:

а) Додатні при $x \in (- 3; 3)$ , від'ємні при $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ .
б) Додатні при $x \in (- \infty; - 7) \cup (1; + \infty)$ , від'ємні при $x \in (- 7; 1)$ .
в) Додатні при $x \in (- 1; 3)$ , від'ємні при $x \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Завдання 618

Знаходження області визначення функцій з коренем та дробом

Потрібно знайти множину всіх допустимих значень $x$ для функцій:
а) $y = x^{2} - 4$ ;
б) $y = x - x^{2}$ ;
в) $y = x^{2} - 5 x + 4$ ;
г) $y = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 4 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \leq - 2$ або $x \geq 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
б) $x - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x (1 - x) \geq 0$ . Корені рівняння $x (1 - x) = 0$ це $0$ і $1$ . Оскільки старший коефіцієнт у $- x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями. Відповідь: $[0; 1]$ .
в) $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $(x - 1) (x - 4) = 0$ , тобто $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується поза коренями. Відповідь: $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .
г) У знаменнику має бути строго більше нуля: $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ . Корені рівняння $(x - 1) (x - 2) = 0$ це $1$ і $2$ . Нерівність виконується при $x < 1$ або $x > 2$ . Відповідь: $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; б) $x \in [0; 1]$ ; в) $x \in (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 619

Область визначення функцій

Знайти область визначення (значення змінної, при яких вирази мають сенс) для чотирьох підпунктів: а) $y = x^{2} - 4 x$ ; б) $y = 2 x^{2} - 4$ ; в) $y = x^{2} - 4 x + 3$ ; г) $y = \frac{x + 6}{2 + x - x ^{2}}$ .

Розв’язання

Підпункт а): Умова $x^{2} - 4 x \geq 0$ . Розкладемо на множники: $x (x - 4) \geq 0$ . Корені рівняння $x (x - 4) = 0$ це $x_{1} = 0, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ .
Підпункт б): Умова $2 x^{2} - 4 \geq 0$ , тобто $x^{2} \geq 2$ . Корені рівняння $x^{2} = 2$ це $\pm 2$ . Нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
Підпункт в): Умова $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 1) (x - 3) \geq 0$ . Корені $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ .
Підпункт г): Умова $2 + x - x^{2} \neq = 0$ , тобто $2 + x - x^{2} > 0$ . Розкладемо на множники: $- (x - 2) (x + 1) > 0$ або $(x - 2) (x + 1) < 0$ . Корені рівняння $x^{2} - x - 2 = 0$ це $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями: $x \in (- 1; 2)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ ; г) $(- 1; 2)$ .