ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 125

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 594–603 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Завдання 594

Визначення квадратної нерівності

Яка з наведених нерівностей не є квадратною?
А $- 2 x^{2} - 5 x + 7 \leq 0$ ; Б $3 x^{2} + 6 \leq 0$ ; В $x^{2} + \frac{1}{x} + 3 \geq 0$ ; Г $\frac{x ^{2}}{3} + 4 x + 2 < 0$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: тут є член $- 2 x^{2}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.
Перевіримо варіант Б: тут є член $3 x^{2}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.
Перевіримо варіант В: тут є дріб $\frac{1}{x}$ . Змінна $x$ знаходиться у знаменнику, тому цей вираз не є квадратним рівнянням чи нерівністю (це раціональна).
Перевіримо варіант Г: тут є член $\frac{x ^{2}}{3}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.

Відповідь:

Завдання 595

Напрям гілок параболи

Визнач напрям гілок графіка функції для рівнянь:
а) $y = 4 x^{2} - 16 x + 5$ ; б) $y = - x^{2} + 4 x + 3$ ; в) $y = 3 x^{2} - 7$ ; г) $y = 7 - 4 x - x^{2}$ ; ґ) $y = 3 x (x - 4)$ ; д) $y = - x (x + 3)$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $4$ . Оскільки $4 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
б) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.
в) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $3$ . Оскільки $3 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
г) Перепишемо рівняння як $y = - x^{2} - 4 x + 7$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.
ґ) Розкриємо дужки: $y = 3 x^{2} - 12 x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $3$ . Оскільки $3 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
д) Розкриємо дужки: $y = - x^{2} - 3 x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.

Відповідь:

а) вгору; б) вниз; в) вгору; г) вниз; ґ) вгору; д) вниз.

Завдання 596

Перетин графіка з віссю абсцис

Чи перетинає вісь абсцис ( $y = 0$ ) графік функції для рівнянь:
а) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ; б) $y = - x^{2} + 7 x - 5$ ; в) $y = 3 x^{2} - x$ ; г) $y = 3 x^{2} - x + 3$ ; ґ) $y = 5 x^{2} + 3 x - 1$ ; д) $y = x (7 x - 1)$ ?

Розв’язання

а) Дискримінант $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8$ . Оскільки $D < 0$ , перетину немає.
б) Дискримінант $D = 7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 49 - 20 = 29$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
в) Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 1 - 0 = 1$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
г) Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = - 35$ . Оскільки $D < 0$ , перетину немає.
ґ) Дискримінант $D = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 1) = 9 + 20 = 29$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
д) Це рівняння $7 x^{2} - x = 0$ . Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 0 = 1$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.

Відповідь:

а) ні; б) так; в) так; г) ні; ґ) так; д) так.

Завдання 597

Множина розв'язків нерівності

Знайти множину розв'язків нерівності $x^{2} - 1 \leq 0$ .
Варіанти відповідей:
А $(- 1; 1)$
Б $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$
В $(- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$
Г $[- 1; 1]$

Розв’язання

Розв'яжемо рівняння $x^{2} - 1 = 0$ . Це різниця квадратів: $(x - 1) (x + 1) = 0$ , звідси корені $x_{1} = - 1$ та $x_{2} = 1$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний), гілки параболи спрямовані вгору. Функція набуває невід'ємних значень ( $\geq 0$ ) за межами коренів, а від'ємні або нульові — між ними.
Оскільки знак нерівності $\leq$ , ми беремо проміжок між коренями разом із самими коренями: $[- 1; 1]$ .

Відповідь:

Завдання 598

Нерівність, що виконується завжди

Яка з нерівностей виконується при всіх дійсних значеннях $x$ ?
А $x^{2} - 5 < 0$
Б $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$
В $x^{2} + x + 7 > 0$
Г $x^{2} - 2 x + 15 < 0$

Розв’язання

Розглянемо варіант А: $D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 45 > 0$ , корені є, нерівність не виконується завжди.
Варіант Б: $(x + 1)^{2} \leq 0$ . Квадрат числа від'ємним бути не може, дорівнює нулю лише при $x = - 1$ . Не виконується для всіх $x$ .
Варіант Г: $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = - 56 < 0$ , але знак нерівності $< 0$ суперечить тому, що функція завжди додатна.
Варіант В: $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = - 27 < 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний). Отже, $y > 0$ завжди.

Відповідь:

Завдання 599

Нерівності без розв'язків

Чому не має розв'язків нерівність (вибери правильне твердження):
а) $3 x^{2} < - 3$ ;
б) $(x - 2)^{2} + 1 \leq 0$ ;
в) $3 x^{2} - x + 1 < 0$ ;
г) $- x^{2} \geq 2$ ;
ґ) $- (1 - x)^{2} > 0$ ;
д) $2 x^{2} < x - 1$ ?

Розв’язання

Варіант а): $3 x^{2}$ завжди $\geq 0$ , тому $3 x^{2} < - 3$ неможливо (додатне число не може бути менше від'ємного).
Варіант б): $(x - 2)^{2} \geq 0$ , отже $(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ . Нерівність $\geq 1 \leq 0$ неможлива.
Варіант в): $D = 1 - 12 < 0$ , парабола вище осі, значення завжди додатні, нерівність $< 0$ не має розв'язків.
Варіант г): $- x^{2} \leq 0$ , тому $- x^{2} \geq 2$ неможливо (від'ємне число не може бути $\geq 2$ ).
Варіант ґ): $(1 - x)^{2} \geq 0$ , отже $- (1 - x)^{2} \leq 0$ . Нерівність $< 0$ має розв'язки (усі $x \neq = 1$ ).
Варіант д): Дискримінант рівняння $2 x^{2} - x + 1 = 0$ від'ємний, функція додатна, але права частина $x - 1$ може бути більшою за ліву (розв'язки є).

Відповідь:

а), б), в), г)

Завдання 600

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = x^{2} + x - 2$ (парабола, гілки вгору, корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $x^{2} + x - 2 < 0$ ;
б) $x^{2} + x - 2 \leq 0$ ;
в) $x^{2} + x - 2 > 0$ ;
г) $x^{2} + x - 2 \geq 0$ .

Розв’язання

Графік функції $y = x^{2} + x - 2$ перетинає вісь абсцис у точках $x_{1} = - 2$ і $x_{2} = 1$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола розташована нижче осі $x$ на проміжку між коренями.
а) Для нерівності $< 0$ беремо частину графіка під віссю $x$ , не включаючи точки перетину: $(- 2; 1)$ .
б) Для нерівності $\leq 0$ беремо проміжок між коренями, включаючи самі точки: $[- 2; 1]$ .
в) Для нерівності $> 0$ беремо частину графіка над віссю $x$ , тобто зовнішні проміжки: $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .
г) Для нерівності $\geq 0$ беремо всі значення, крім тих, де функція дорівнює нулю: $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 1)$ ; б) $[- 2; 1]$ ; в) $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ ; г) $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 601

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = 4 - x^{2}$ (парабола, гілки вниз, корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $4 - x^{2} < 0$ ;
б) $4 - x^{2} \leq 0$ ;
в) $4 - x^{2} > 0$ ;
г) $4 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

Графік функції перетинає вісь абсцис у точках $x = - 2$ і $x = 2$ . Парабола знаходиться вище осі $x$ на проміжку $(- 2; 2)$ .
а) Нерівність $< 0$ відповідає частині графіка нижче осі $x$ : $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .
б) Нерівність $\leq 0$ включає точки, де функція дорівнює нулю: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
в) Нерівність $> 0$ відповідає частині графіка вище осі $x$ : $(- 2; 2)$ .
г) Нерівність $\geq 0$ включає точки, де функція дорівнює нулю: $[- 2; 2]$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; в) $(- 2; 2)$ ; г) $[- 2; 2]$ .

Завдання 602

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = x^{2} + 2 x + 1$ (парабола, гілки вгору, дотична до осі $x$ у точці $x = - 1$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $x^{2} + 2 x + 1 < 0$ ;
б) $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ ;
в) $x^{2} + 2 x + 1 > 0$ ;
г) $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ .

Розв’язання

Функція $y = x^{2} + 2 x + 1$ має єдиний корень $x = - 1$ , і графік лежить вище осі $x$ .
а) Нерівність $< 0$ не має розв'язків, оскільки функція ніколи не від'ємна: $\emptyset$ .
б) Нерівність $\leq 0$ виконується лише в точці дотику графіка до осі: ${- 1}$ .
в) Нерівність $> 0$ виконується для всіх значень, крім точки дотику: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
г) Нерівність $\geq 0$ виконується для всіх дійсних чисел: $R$ .

Відповідь:

а) $\emptyset$ (не має розв'язків); б) ${- 1}$ ; в) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ ; г) $R$ .

Завдання 603

Гра з графіками квадратних функцій

Один учасник малює графік $f (x)$ , другий називає умови ( $> 0$ , $< 0$ тощо), третій заштриховує відповідні частини осі $x$ . Потім ролі міняються.

Розв’язання

Намалюйте графік функції $f (x) = x^{2} - 4$ (гілки вгору, корені $\pm 2$ ).
Запишіть умову «знайти значення $x$ , для яких $f (x) > 0$ ».
Заштрихуйте частини осі $O x$ зовні проміжку між коренями, тобто $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

План гри описано в умові. Зразок відповіді для графіка $y = x^{2} - 4$ та умови $> 0$ : множина розв'язків — $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .