ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П. — сторінка 124

Завдання 593

Приклади квадратних нерівностей з різними множинами розв'язків

Навести приклади квадратних нерівностей, які: а) не мають жодного розв'язку; б) мають тільки один розв'язок; в) задовольняють усі дійсні числа.

Розв’язання

Для пункту а) візьмемо квадратне тричлен з $D < 0$ , наприклад $x^{2} + 1$ . Оскільки він завжди додатний, нерівність $x^{2} + 1 < 0$ не має розв'язків.
Для пункту б) візьмемо випадок, коли парабола дотикається до осі $x$ в одній точці (тобто $D = 0$ ). Наприклад, $(x - 1)^{2} \leq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, єдиний розв'язок — це точка дотику $x = 1$ .
Для пункту в) візьмемо випадок, коли парабола з гілками вниз повністю знаходиться нижче осі $x$ (тобто $D < 0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний). Наприклад, $- x^{2} - 1 > 0$ . Це рівносильно $x^{2} + 1 < 0$ , що неможливо. Тому краще взяти випадок з двома коренями та гілками вниз: $- (x - 1) (x + 1) \geq 0$ або просто $- x^{2} + 4 \geq 0$ . Простіший приклад для всіх дійсних чисел — це нерівність типу $- x^{2} - 1 < 0$ , яка виконується завжди, оскільки ліва частина від'ємна.

Відповідь:

а) $x^{2} + 1 < 0$ ; б) $(x - 1)^{2} \leq 0$ ; в) $- x^{2} - 1 < 0$ .