Завдання 639, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Розв’язання крок за кроком

1. а) Перетворимо $1<x^2+2<3x$ на систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2+2>1\\ x^2+2<3x\end{array}$. Спростимо першу нерівність до $x^2+1>0$, що виконується для всіх дійсних чисел ($x\in \mathbb{R}$). Другу нерівність переписуємо як $x^2-3x+2<0$, корені рівняння $x^2-3x+2=0$ дорівнюють $1$ та $2$. Розв'язок: $x\in (1;2)$. Оскільки перша нерівність завжди вірна, остаточний розв'язок — $(1;2)$.

2. б) Перетворимо $3<x^2-2x+3<x^2$ на систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3>3\\ x^2-2x+3<x^2\end{array}$. Спростимо першу нерівність до $-2x>0\Rightarrow x<0$. Другу нерівність спростимо, віднявши $x^2$ від обох частин: $-2x+3<0\Rightarrow -2x<-3\Rightarrow x>1,5$. Знаходимо перетин проміжків $x<0$ та $x>1,5$, який порожній.