Завдання 637, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 637

Знаходження найменшого цілого розв'язку системи нерівностей

а) ${x^{2} - 3 x - 10 < 0, x^{2} + 5 x \leq 0;$
б) ${x^{2} - 6 x - 7 \leq 0, x^{2} - 4 x + 3 \geq 0;$
в) ${x^{2} + 4 x - 5 \geq 0, x^{2} - 25 \leq 0.$

Розв’язання

а) Перша: $(x - 5) (x + 2) < 0 \Rightarrow (- 2; 5)$ . Друга: $x (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 0]$ . Перетин: $(- 2; 0]$ . Найменше ціле число в цьому проміжку відсутнє, оскільки нижня межа $- 2$ не включена. Але якщо шукати найменше ціле взагалі для системи? Ні, умова "найменший цілий розв'язок" означає мінімальне значення з усіх цілих чисел, що задовольняють систему. У проміжку $(- 2; 0]$ є числа $- 1, 0$ . Найменше — $- 1$ .
б) Перша: $(x + 1) (x - 7) \leq 0 \Rightarrow [- 1; 7]$ . Друга: $(x - 3) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ . Перетин: $[- 1; 1] \cup [3; 7]$ . Цілі числа: $- 1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7$ . Найменше — $- 1$ .
в) Перша: $(x + 5) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; - 5] \cup [1; + \infty)$ . Друга: $(x - 5) (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 5]$ . Перетин: ${- 5} \cup [1; 5]$ . Цілі числа: $- 5, 1, 2, 3, 4, 5$ . Найменше — $- 5$ .

Відповідь:

а) $- 1$ ; б) $- 1$ ; в) $- 5$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 637 с. 128

Знаходження найменшого цілого розв'язку системи нерівностей

Умова

а) ${x^{2} - 3 x - 10 < 0, x^{2} + 5 x \leq 0;$
б) ${x^{2} - 6 x - 7 \leq 0, x^{2} - 4 x + 3 \geq 0;$
в) ${x^{2} + 4 x - 5 \geq 0, x^{2} - 25 \leq 0.$

Що треба знати

Щоб знайти найменший цілий розв'язок, потрібно визначити спільний інтервал для системи нерівностей і знайти найбільше ціле число, яке менше за верхню межу цього інтервалу (або нижню, якщо інтервал нескінченний вліво).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розклади многочлени на множники, знайди корені та визнач проміжки перетину розв'язків обох нерівностей.

Розв’язання крок за кроком

а) Перша: $(x - 5) (x + 2) < 0 \Rightarrow (- 2; 5)$ . Друга: $x (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 0]$ . Перетин: $(- 2; 0]$ . Найменше ціле число в цьому проміжку відсутнє, оскільки нижня межа $- 2$ не включена. Але якщо шукати найменше ціле взагалі для системи? Ні, умова "найменший цілий розв'язок" означає мінімальне значення з усіх цілих чисел, що задовольняють систему. У проміжку $(- 2; 0]$ є числа $- 1, 0$ . Найменше — $- 1$ .
б) Перша: $(x + 1) (x - 7) \leq 0 \Rightarrow [- 1; 7]$ . Друга: $(x - 3) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ . Перетин: $[- 1; 1] \cup [3; 7]$ . Цілі числа: $- 1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7$ . Найменше — $- 1$ .
в) Перша: $(x + 5) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; - 5] \cup [1; + \infty)$ . Друга: $(x - 5) (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 5]$ . Перетин: ${- 5} \cup [1; 5]$ . Цілі числа: $- 5, 1, 2, 3, 4, 5$ . Найменше — $- 5$ .

Відповідь:

а) $- 1$ ; б) $- 1$ ; в) $- 5$ .

Розбір зрозумілий?