Завдання 635, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 635

Розв'язування системи нерівностей

а) ${x^{2} + 4 x - 12 \leq 0, 4 x - 9 > 6 x;$
б) ${x^{2} - 3 > 2 x, x^{2} + 28 \geq 11 x;$
в) ${3 x^{2} + 1 \geq 4 x, 3 x^{2} + 2 \leq 5 x .$

Розв’язання

а) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} + 4 x - 12 \leq 0$ . Корені рівняння $x_{1} = - 6, x_{2} = 2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[- 6; 2]$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $4 x - 9 > 6 x \Rightarrow - 2 x > 9 \Rightarrow x < - 4, 5$ . Інтервал: $(- \infty; - 4, 5)$ .
Знайдемо перетин інтервалів: $[- 6; 2] \cap (- \infty; - 4, 5) = [- 6; - 4, 5)$ .
б) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ . Корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Розв'язок: $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x^{2} - 11 x + 28 \geq 0$ . Корені $x_{1} = 4, x_{2} = 7$ . Розв'язок: $(- \infty; 4] \cup [7; + \infty)$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)) \cap ((- \infty; 4] \cup [7; + \infty)) = (- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ .
в) Розв'яжемо першу нерівність: $3 x^{2} - 4 x + 1 \geq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $(- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $3 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $[\frac{2}{3}; 1]$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)) \cap [\frac{2}{3}; 1] = {1}$ .

Відповідь:

а) $[- 6; - 4, 5)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ ; в) ${1}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 635 с. 128

Умова

а) ${x^{2} + 4 x - 12 \leq 0, 4 x - 9 > 6 x;$
б) ${x^{2} - 3 > 2 x, x^{2} + 28 \geq 11 x;$
в) ${3 x^{2} + 1 \geq 4 x, 3 x^{2} + 2 \leq 5 x .$

Що треба знати

Щоб знайти розв'язок системи нерівностей, потрібно окремо розв'язати кожну нерівність і знайти перетин їхніх розв'язків (спільні значення змінної).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з того, щоб розкласти кожен многочлен на множники або знайти корені відповідних квадратних рівнянь.

Розв’язання крок за кроком

а) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} + 4 x - 12 \leq 0$ . Корені рівняння $x_{1} = - 6, x_{2} = 2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[- 6; 2]$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $4 x - 9 > 6 x \Rightarrow - 2 x > 9 \Rightarrow x < - 4, 5$ . Інтервал: $(- \infty; - 4, 5)$ .
Знайдемо перетин інтервалів: $[- 6; 2] \cap (- \infty; - 4, 5) = [- 6; - 4, 5)$ .
б) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ . Корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Розв'язок: $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x^{2} - 11 x + 28 \geq 0$ . Корені $x_{1} = 4, x_{2} = 7$ . Розв'язок: $(- \infty; 4] \cup [7; + \infty)$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)) \cap ((- \infty; 4] \cup [7; + \infty)) = (- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ .
в) Розв'яжемо першу нерівність: $3 x^{2} - 4 x + 1 \geq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $(- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $3 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $[\frac{2}{3}; 1]$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)) \cap [\frac{2}{3}; 1] = {1}$ .

Відповідь:

а) $[- 6; - 4, 5)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ ; в) ${1}$ .

Розбір зрозумілий?