Завдання 632, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 632

Розв'язання нерівностей з раціональними виразами

а) $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 8}{x ^{2} + 2} ⩽ 0$ ;
б) $\frac{2 x ^{2} - x - 3}{4 x ^{2} + 1} ⩾ 0$ ;
в) $\frac{3 + ∣ x ∣}{3 x ^{2} - 2 x - 16} > 0$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x^{2} + 2$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до розв'язання $3 x^{2} + 5 x - 8 ⩽ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 109$ , $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 109}{6}$ . Оскільки знак $⩽$ , розв'язок між коренями.
б) Знаменник $4 x^{2} + 1$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до $2 x^{2} - x - 3 ⩾ 0$ . Корені рівняння $2 x^{2} - x - 3 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 1, 5$ . Розв'язок: $x ⩽ - 1$ або $x ⩾ 1, 5$ .
в) Чисельник $3 + ∣ x ∣$ завжди додатний ( $> 0$ ). Нерівність зводиться до знаменника $3 x^{2} - 2 x - 16 > 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} - 2 x - 16 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 16) = 200$ , корені $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 50}{3} = \frac{1 \pm 5 2}{3}$ . Розв'язок: $x < x_{1}$ або $x > x_{2}$ .

Відповідь:

а) $[\frac{- 5 - 109}{6}; \frac{- 5 + 109}{6}]$ ;
б) $(- \infty; - 1] \cup [1, 5; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; \frac{1 - 5 2}{3}) \cup (\frac{1 + 5 2}{3}; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 632 с. 128

Розв'язання нерівностей з раціональними виразами

Умова

а) $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 8}{x ^{2} + 2} ⩽ 0$ ;
б) $\frac{2 x ^{2} - x - 3}{4 x ^{2} + 1} ⩾ 0$ ;
в) $\frac{3 + ∣ x ∣}{3 x ^{2} - 2 x - 16} > 0$ .

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність, потрібно знайти корені чисельника та знаменника. Знаки дробу не змінюються там, де знаменник додатний (або відмінний від нуля), а змінюються, якщо знаменник від'ємний.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку розглянь кожен випадок окремо. Для пункту в) спочатку визнач знак чисельника, потім знайди корені знаменника та змалюй числову вісь.

Розв’язання крок за кроком

а) Знаменник $x^{2} + 2$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до розв'язання $3 x^{2} + 5 x - 8 ⩽ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 109$ , $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 109}{6}$ . Оскільки знак $⩽$ , розв'язок між коренями.
б) Знаменник $4 x^{2} + 1$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до $2 x^{2} - x - 3 ⩾ 0$ . Корені рівняння $2 x^{2} - x - 3 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 1, 5$ . Розв'язок: $x ⩽ - 1$ або $x ⩾ 1, 5$ .
в) Чисельник $3 + ∣ x ∣$ завжди додатний ( $> 0$ ). Нерівність зводиться до знаменника $3 x^{2} - 2 x - 16 > 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} - 2 x - 16 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 16) = 200$ , корені $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 50}{3} = \frac{1 \pm 5 2}{3}$ . Розв'язок: $x < x_{1}$ або $x > x_{2}$ .

Відповідь:

а) $[\frac{- 5 - 109}{6}; \frac{- 5 + 109}{6}]$ ;
б) $(- \infty; - 1] \cup [1, 5; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; \frac{1 - 5 2}{3}) \cup (\frac{1 + 5 2}{3}; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?