Завдання 626, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 626

Розв'язання нерівностей з розкриттям дужок

а) $(x - 2) (x + 2) + x (x + 7) ⩽ 0$ ;
б) $(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$ ;
в) $(x - 5)^{2} + 6 x ⩾ 2 (2 x + 1)^{2} - 29$ ;
г) $\frac{x ^{2} + 2 x}{3} - \frac{3 x + 5}{4} ⩽ \frac{1 - 7 x}{6}$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 + x^{2} + 7 x ⩽ 0$ . Збираємо подібні: $2 x^{2} + 7 x - 4 ⩽ 0$ . Знаходимо дискримінант рівняння $2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ : $D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 9}{4}$ . Отже, $x_{1} = \frac{2}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{- 16}{4} = - 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується між коренями: $[- 4; 0, 5]$ .
Пункт б): Розкриваємо дужки обох частин: $3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 16 x + 12 + 4$ . Переносимо все в ліву частину: $x^{2} + 5 x - 20 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} + 5 x - 20 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot (- 20) = 105$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 105}{2}$ . Відповідь: $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ .
Пункт в): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 + 6 x ⩾ 2 (4 x^{2} + 4 x + 1) - 29$ . Спростимо праву частину: $8 x^{2} + 8 x + 2 - 29 = 8 x^{2} + 8 x - 27$ . Переносимо в ліву: $- 7 x^{2} - 14 x + 52 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $7 x^{2} + 14 x - 52 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 196 - 4 \cdot 7 \cdot (- 52) = 196 + 1456 = 1652$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1652}{14} = \frac{- 14 \pm 2 413}{14} = \frac{- 7 \pm 413}{7}$ . Відповідь: $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ .
Пункт г): Приводимо до спільного знаменника 12: $\frac{4 ( x ^{2} + 2 x ) - 3 ( 3 x + 5 )}{12} ⩽ \frac{2 ( 1 - 7 x )}{12}$ . Спрощуємо чисельник лівої частини: $4 x^{2} + 8 x - 9 x - 15 = 4 x^{2} - x - 15$ . Нерівність стає: $\frac{4 x ^{2} - x - 15}{12} ⩽ \frac{2 - 14 x}{12}$ . Помножимо на 12: $4 x^{2} - x - 15 ⩽ 2 - 14 x$ . Переносимо все в ліву: $4 x^{2} + 13 x - 17 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 169 - 4 \cdot 4 \cdot (- 17) = 169 + 272 = 441$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 21}{8}$ . $x_{1} = \frac{8}{8} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 34}{8} = - 4, 25$ . Відповідь: $[- 4, 25; 1]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 5]$ ; б) $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ ; в) $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ ; г) $[- 4, 25; 1]$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 626 с. 127

Розв'язання нерівностей з розкриттям дужок

Умова

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність, спочатку потрібно перетворити її до вигляду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $⩽$ , $<$ ). Для цього розкриваємо дужки, збираємо подібні доданки та ділимо на коефіцієнт при $x^{2}$ , якщо він від'ємний. Потім знаходимо корені відповідного квадратного рівняння і малюємо числову вісь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з пункту а). Розкрий дужки в кожному доданку, збери подібні члени, щоб отримати стандартний вигляд квадратної нерівності.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 + x^{2} + 7 x ⩽ 0$ . Збираємо подібні: $2 x^{2} + 7 x - 4 ⩽ 0$ . Знаходимо дискримінант рівняння $2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ : $D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 9}{4}$ . Отже, $x_{1} = \frac{2}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{- 16}{4} = - 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується між коренями: $[- 4; 0, 5]$ .
Пункт б): Розкриваємо дужки обох частин: $3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 16 x + 12 + 4$ . Переносимо все в ліву частину: $x^{2} + 5 x - 20 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} + 5 x - 20 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot (- 20) = 105$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 105}{2}$ . Відповідь: $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ .
Пункт в): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 + 6 x ⩾ 2 (4 x^{2} + 4 x + 1) - 29$ . Спростимо праву частину: $8 x^{2} + 8 x + 2 - 29 = 8 x^{2} + 8 x - 27$ . Переносимо в ліву: $- 7 x^{2} - 14 x + 52 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $7 x^{2} + 14 x - 52 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 196 - 4 \cdot 7 \cdot (- 52) = 196 + 1456 = 1652$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1652}{14} = \frac{- 14 \pm 2 413}{14} = \frac{- 7 \pm 413}{7}$ . Відповідь: $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ .
Пункт г): Приводимо до спільного знаменника 12: $\frac{4 ( x ^{2} + 2 x ) - 3 ( 3 x + 5 )}{12} ⩽ \frac{2 ( 1 - 7 x )}{12}$ . Спрощуємо чисельник лівої частини: $4 x^{2} + 8 x - 9 x - 15 = 4 x^{2} - x - 15$ . Нерівність стає: $\frac{4 x ^{2} - x - 15}{12} ⩽ \frac{2 - 14 x}{12}$ . Помножимо на 12: $4 x^{2} - x - 15 ⩽ 2 - 14 x$ . Переносимо все в ліву: $4 x^{2} + 13 x - 17 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 169 - 4 \cdot 4 \cdot (- 17) = 169 + 272 = 441$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 21}{8}$ . $x_{1} = \frac{8}{8} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 34}{8} = - 4, 25$ . Відповідь: $[- 4, 25; 1]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 5]$ ; б) $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ ; в) $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ ; г) $[- 4, 25; 1]$ .

Розбір зрозумілий?