Завдання 625, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 625

Розв'язання нерівностей

а) $(3 x - 1) (x + 3) > x (1 + 5 x)$ ;
б) $(x + 4) (2 x - 3) - (5 x - 6) (x - 3) ⩾ 10$ ;
в) $(3 x - 2)^{2} ⩾ 8 (x - 1)^{2} + 17$ ;
г) $\frac{x ^{2} + x}{2} - \frac{5 x + 1}{3} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ .

Розв’язання

а) Розкриємо дужки: $3 x^{2} + 9 x - x - 3 > x + 5 x^{2}$ . Спростимо: $3 x^{2} + 8 x - 3 > 5 x^{2} + x$ . Перенесемо все вліво: $- 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (змінюємо знак): $2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ . Знайдемо корені $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $D = 49 - 24 = 25$ , $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, а знак нерівності «менше», розв'язок між коренями: $0, 5 < x < 3$ .
б) Розкриємо дужки: $(2 x^{2} + 5 x - 12) - (5 x^{2} - 21 x + 18) ⩾ 10$ . Спростимо: $- 3 x^{2} + 16 x - 30 ⩾ 10$ , тобто $- 3 x^{2} + 16 x - 40 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ : $3 x^{2} - 16 x + 40 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 256 - 480 < 0$ . Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , парабола знаходиться повністю вище осі $O x$ , тому нерівність $⩽ 0$ не має розв'язків.
в) Розкриємо дужки: $(9 x^{2} - 12 x + 4) ⩾ 8 (x^{2} - 2 x + 1) + 17$ . Спростимо: $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 8 + 17$ , тобто $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 25$ . Перенесемо все вліво: $x^{2} + 4 x - 21 ⩾ 0$ . Знайдемо корені $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ : $D = 16 + 84 = 100$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ . Оскільки знак «більше або дорівнює», розв'язок: $x ⩽ - 7$ або $x ⩾ 3$ .
г) Знайдемо спільний знаменник (6): $\frac{3 ( x ^{2} + x )}{6} - \frac{2 ( 5 x + 1 )}{6} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ . Помножимо на 6: $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2 ⩽ x - 7$ . Спростимо: $3 x^{2} - 7 x - 2 ⩽ x - 7$ , тобто $3 x^{2} - 8 x + 5 ⩽ 0$ . Знайдемо корені $3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ : $D = 64 - 60 = 4$ , $x_{1} = \frac{8 - 2}{6} = 1$ , $x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}$ . Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок між коренями: $1 ⩽ x ⩽ \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 3)$ ; б) $\emptyset$ (немає розв'язків); в) $(- \infty; - 7] \cup [3; + \infty)$ ; г) $[1; \frac{5}{3}]$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 625 с. 127

Розв'язання нерівностей

Умова

Що треба знати

Для розв'язання нерівностей необхідно спочатку привести їх до стандартного вигляду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $⩾, <, ⩽$ ), розкласти ліву частину на множники або знайти дискримінант.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий дужки в кожному пункті, зведи подібні доданки та розв'яжи отриману квадратну нерівність.

Розв’язання крок за кроком

а) Розкриємо дужки: $3 x^{2} + 9 x - x - 3 > x + 5 x^{2}$ . Спростимо: $3 x^{2} + 8 x - 3 > 5 x^{2} + x$ . Перенесемо все вліво: $- 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (змінюємо знак): $2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ . Знайдемо корені $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $D = 49 - 24 = 25$ , $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, а знак нерівності «менше», розв'язок між коренями: $0, 5 < x < 3$ .
б) Розкриємо дужки: $(2 x^{2} + 5 x - 12) - (5 x^{2} - 21 x + 18) ⩾ 10$ . Спростимо: $- 3 x^{2} + 16 x - 30 ⩾ 10$ , тобто $- 3 x^{2} + 16 x - 40 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ : $3 x^{2} - 16 x + 40 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 256 - 480 < 0$ . Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , парабола знаходиться повністю вище осі $O x$ , тому нерівність $⩽ 0$ не має розв'язків.
в) Розкриємо дужки: $(9 x^{2} - 12 x + 4) ⩾ 8 (x^{2} - 2 x + 1) + 17$ . Спростимо: $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 8 + 17$ , тобто $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 25$ . Перенесемо все вліво: $x^{2} + 4 x - 21 ⩾ 0$ . Знайдемо корені $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ : $D = 16 + 84 = 100$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ . Оскільки знак «більше або дорівнює», розв'язок: $x ⩽ - 7$ або $x ⩾ 3$ .
г) Знайдемо спільний знаменник (6): $\frac{3 ( x ^{2} + x )}{6} - \frac{2 ( 5 x + 1 )}{6} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ . Помножимо на 6: $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2 ⩽ x - 7$ . Спростимо: $3 x^{2} - 7 x - 2 ⩽ x - 7$ , тобто $3 x^{2} - 8 x + 5 ⩽ 0$ . Знайдемо корені $3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ : $D = 64 - 60 = 4$ , $x_{1} = \frac{8 - 2}{6} = 1$ , $x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}$ . Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок між коренями: $1 ⩽ x ⩽ \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 3)$ ; б) $\emptyset$ (немає розв'язків); в) $(- \infty; - 7] \cup [3; + \infty)$ ; г) $[1; \frac{5}{3}]$ .

Розбір зрозумілий?