Завдання 623, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 623

Площа саду з парканом

Прямокутна ділянка під сад прилягає до стіни будинку. Для огородження трьох інших сторін використано 90 м паркану. Познач сторону, що прилягає до стіни, за $x$ . Знайти найбільше значення $x$ і довжину третьої сторони (перпендикулярної до стіни) при цьому значенні $x$ , щоб площа саду була не меншою від $400 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Оскільки парканом огороджені одна сторона $x$ (паралельна стіні) і дві сторони $y$ , маємо рівність $x + 2 y = 90$ . Звідси $y = \frac{90 - x}{2} = 45 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 400$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (45 - 0, 5 x) ⩾ 400$ .
Спростимо нерівність: $45 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 400$ , або $- 0, 5 x^{2} + 45 x - 400 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 90 x + 800 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені відповідної квадратної рівності $x^{2} - 90 x + 800 = 0$ : $D = (- 90)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 8100 - 3200 = 4900$ . $D = 70$ . Корені: $x_{1} = \frac{90 - 70}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{90 + 70}{2} = 80$ .
Оскільки нерівність має знак «менше або дорівнює», розв'язком є проміжок між коренями: $10 ⩽ x ⩽ 80$ . Найбільше значення $x$ — це $80$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 80$ : $y = 45 - 0, 5 \cdot 80 = 45 - 40 = 5 (м)$ . Перевірка площі: $80 \cdot 5 = 400 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найбільше значення $x = 80 м$ , довжина третьої сторони $5 м$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 623 с. 127

Площа саду з парканом

Умова

Що треба знати

Оскільки парканом огороджені три сторони, сума двох перпендикулярних до стіни сторін та однієї паралельної дорівнює 90 м. Площа прямокутника $S = x \cdot y$ , де $y$ — довжина третьої сторони.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вираз через $x$ знайди довжину третьої сторони, а потім запиши нерівність для площі.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Оскільки парканом огороджені одна сторона $x$ (паралельна стіні) і дві сторони $y$ , маємо рівність $x + 2 y = 90$ . Звідси $y = \frac{90 - x}{2} = 45 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 400$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (45 - 0, 5 x) ⩾ 400$ .
Спростимо нерівність: $45 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 400$ , або $- 0, 5 x^{2} + 45 x - 400 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 90 x + 800 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені відповідної квадратної рівності $x^{2} - 90 x + 800 = 0$ : $D = (- 90)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 8100 - 3200 = 4900$ . $D = 70$ . Корені: $x_{1} = \frac{90 - 70}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{90 + 70}{2} = 80$ .
Оскільки нерівність має знак «менше або дорівнює», розв'язком є проміжок між коренями: $10 ⩽ x ⩽ 80$ . Найбільше значення $x$ — це $80$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 80$ : $y = 45 - 0, 5 \cdot 80 = 45 - 40 = 5 (м)$ . Перевірка площі: $80 \cdot 5 = 400 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найбільше значення $x = 80 м$ , довжина третьої сторони $5 м$ .

Розбір зрозумілий?