Знайти область визначення (значення змінної, при яких вирази мають сенс) для чотирьох підпунктів: а) y=x2−4x; б) y=2x2−4; в) y=x2−4x+3; г) y=2+x−x2x+6.
Розв’язання
Підпункт а): Умова x2−4x≥0. Розкладемо на множники: x(x−4)≥0. Корені рівняння x(x−4)=0 це x1=0,x2=4. Оскільки коефіцієнт при x2 додатний, нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;0]∪[4;+∞).
Підпункт б): Умова 2x2−4≥0, тобто x2≥2. Корені рівняння x2=2 це ±2. Нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;−2]∪[2;+∞).
Підпункт в): Умова x2−4x+3≥0. Розкладемо на множники: (x−1)(x−3)≥0. Корені x1=1,x2=3. Нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;1]∪[3;+∞).
Підпункт г): Умова 2+x−x2=0, тобто 2+x−x2>0. Розкладемо на множники: −(x−2)(x+1)>0 або (x−2)(x+1)<0. Корені рівняння x2−x−2=0 це x1=−1,x2=2. Нерівність виконується між коренями: x∈(−1;2).
Знайти область визначення (значення змінної, при яких вирази мають сенс) для чотирьох підпунктів: а) y=x2−4x; б) y=2x2−4; в) y=x2−4x+3; г) y=2+x−x2x+6.
Що треба знати
Дріб має сенс, якщо знаменник не дорівнює нулю. Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід'ємним (≥0). Якщо корінь у знаменнику — він має бути додатним (>0).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спочатку запиши умову для кожного підпункту окремо, а потім розв'яжи відповідні нерівності.
Розв’язання крок за кроком
Підпункт а): Умова x2−4x≥0. Розкладемо на множники: x(x−4)≥0. Корені рівняння x(x−4)=0 це x1=0,x2=4. Оскільки коефіцієнт при x2 додатний, нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;0]∪[4;+∞).
Підпункт б): Умова 2x2−4≥0, тобто x2≥2. Корені рівняння x2=2 це ±2. Нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;−2]∪[2;+∞).
Підпункт в): Умова x2−4x+3≥0. Розкладемо на множники: (x−1)(x−3)≥0. Корені x1=1,x2=3. Нерівність виконується за межами коренів: x∈(−∞;1]∪[3;+∞).
Підпункт г): Умова 2+x−x2=0, тобто 2+x−x2>0. Розкладемо на множники: −(x−2)(x+1)>0 або (x−2)(x+1)<0. Корені рівняння x2−x−2=0 це x1=−1,x2=2. Нерівність виконується між коренями: x∈(−1;2).
