Завдання 618, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 618

Знаходження області визначення функцій з коренем та дробом

Потрібно знайти множину всіх допустимих значень $x$ для функцій:
а) $y = x^{2} - 4$ ;
б) $y = x - x^{2}$ ;
в) $y = x^{2} - 5 x + 4$ ;
г) $y = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 4 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \leq - 2$ або $x \geq 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
б) $x - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x (1 - x) \geq 0$ . Корені рівняння $x (1 - x) = 0$ це $0$ і $1$ . Оскільки старший коефіцієнт у $- x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями. Відповідь: $[0; 1]$ .
в) $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $(x - 1) (x - 4) = 0$ , тобто $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується поза коренями. Відповідь: $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .
г) У знаменнику має бути строго більше нуля: $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ . Корені рівняння $(x - 1) (x - 2) = 0$ це $1$ і $2$ . Нерівність виконується при $x < 1$ або $x > 2$ . Відповідь: $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; б) $x \in [0; 1]$ ; в) $x \in (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 618 с. 126

Знаходження області визначення функцій з коренем та дробом

Умова

Що треба знати

Для кореня $A$ допустимі значення задовольняють умову $A \geq 0$ . Для дробу з коренем у знаменнику потрібно виконуватися дві умови одночасно: вираз під коренем має бути додатним ( $> 0$ ), а не просто неп'ятим.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади нерівності для кожного випадку, розв'яжи їх і об'єднай результати (для дробу — перетин множин).

Розв’язання крок за кроком

а) $x^{2} - 4 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \leq - 2$ або $x \geq 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
б) $x - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x (1 - x) \geq 0$ . Корені рівняння $x (1 - x) = 0$ це $0$ і $1$ . Оскільки старший коефіцієнт у $- x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями. Відповідь: $[0; 1]$ .
в) $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $(x - 1) (x - 4) = 0$ , тобто $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується поза коренями. Відповідь: $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .
г) У знаменнику має бути строго більше нуля: $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ . Корені рівняння $(x - 1) (x - 2) = 0$ це $1$ і $2$ . Нерівність виконується при $x < 1$ або $x > 2$ . Відповідь: $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; б) $x \in [0; 1]$ ; в) $x \in (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?