Дано три функції та потрібно визначити, при яких x вони додатні, а при яких від'ємні: а) f(x)=9−x2; б) f(x)=x2+6x−7; в) f(x)=3+2x−x2.
Розв’язання
а) Рівняння 9−x2=0⇒x2=9⇒x=±3. Оскільки a=−1<0 (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними. б) Рівняння x2+6x−7=0. Дискримінант D=36−4⋅1⋅(−7)=64, корені: x1,2=2−6±8, тобто x1=−7,x2=1. Оскільки a=1>0 (гілки вгору), функція додатна при x<−7 або x>1, від'ємна — між коренями. в) Рівняння −x2+2x+3=0⇒x2−2x−3=0. Дискримінант D=4−4⋅(−3)=16, корені: x1,2=22±4, тобто x1=−1,x2=3. Оскільки вихідна функція має a=−1<0 (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.
Відповідь:
а) Додатні при x∈(−3;3), від'ємні при x∈(−∞;−3)∪(3;+∞). б) Додатні при x∈(−∞;−7)∪(1;+∞), від'ємні при x∈(−7;1). в) Додатні при x∈(−1;3), від'ємні при x∈(−∞;−1)∪(3;+∞).
Дано три функції та потрібно визначити, при яких x вони додатні, а при яких від'ємні: а) f(x)=9−x2; б) f(x)=x2+6x−7; в) f(x)=3+2x−x2.
Що треба знати
Для знаходження інтервалів змінних знаків квадратичної функції спочатку треба знайти корені відповідного рівняння f(x)=0, а потім перевірити знак коефіцієнта при старшому доданку (a).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розв'яжи кожне рівняння f(x)=0, знайди корені та визнач, де графік параболи лежить вище або нижче осі Ox.
Розв’язання крок за кроком
а) Рівняння 9−x2=0⇒x2=9⇒x=±3. Оскільки a=−1<0 (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними. б) Рівняння x2+6x−7=0. Дискримінант D=36−4⋅1⋅(−7)=64, корені: x1,2=2−6±8, тобто x1=−7,x2=1. Оскільки a=1>0 (гілки вгору), функція додатна при x<−7 або x>1, від'ємна — між коренями. в) Рівняння −x2+2x+3=0⇒x2−2x−3=0. Дискримінант D=4−4⋅(−3)=16, корені: x1,2=22±4, тобто x1=−1,x2=3. Оскільки вихідна функція має a=−1<0 (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.
Відповідь:
а) Додатні при x∈(−3;3), від'ємні при x∈(−∞;−3)∪(3;+∞). б) Додатні при x∈(−∞;−7)∪(1;+∞), від'ємні при x∈(−7;1). в) Додатні при x∈(−1;3), від'ємні при x∈(−∞;−1)∪(3;+∞).
