Завдання 613, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 613

Розв'язання нерівностей з розкритими дужками

а) $x (2 + x) ⩾ 3$ ;
б) $6 (t^{2} + 1) < 13 t$ ;
в) $5 y - (y - 2)^{2} < - 14$ ;
г) $(x - 2) (x + 3) < 0$ ;
ґ) $(a + 2) (a - 5) ⩽ 18$ ;
д) $(2 - c) (3 - c) ⩾ - 2 (c - 23)$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $2 x + x^{2} ⩾ 3$ . Переносимо $3$ вліво: $x^{2} + 2 x - 3 ⩾ 0$ . Знаходимо корені рівності $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ , $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Функція параболою розкривається вгору, тому вона додатна поза коренями.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $6 t^{2} + 6 < 13 t$ . Переносимо все вліво: $6 t^{2} - 13 t + 6 < 0$ . Знаходимо корені рівності $6 t^{2} - 13 t + 6 = 0$ : $D = 169 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 49$ , $t_{1} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{1}{2}$ , $t_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{3}{2}$ . Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $5 y - (y^{2} - 4 y + 4) < - 14 \Rightarrow 5 y - y^{2} + 4 y - 4 < - 14$ . Збираємо подібні: $- y^{2} + 9 y + 10 < 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $y^{2} - 9 y - 10 > 0$ . Корені рівності $y^{2} - 9 y - 10 = 0$ : $D = 81 + 40 = 121$ , $y_{1} = \frac{9 - 11}{2} = - 1$ , $y_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ . Нерівність виконується поза коренями.
Пункт г): Це стандартна нерівність виду $(x - x_{1}) (x - x_{2}) < 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 3$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок знаходимо між коренями.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки: $a^{2} - 3 a - 10 ⩽ 18 \Rightarrow a^{2} - 3 a - 28 ⩽ 0$ . Корені рівності $a^{2} - 3 a - 28 = 0$ : $D = 9 + 112 = 121$ , $a_{1} = \frac{3 - 11}{2} = - 4$ , $a_{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7$ . Нерівність виконується між коренями.
Пункт д): Розкриваємо дужки: $(6 - 5 c - 6 c + c^{2}) ⩾ - 2 c + 46 \Rightarrow c^{2} - 11 c + 6 ⩾ - 2 c + 46$ . Переносимо все вліво: $c^{2} - 9 c - 40 ⩾ 0$ . Корені рівності $c^{2} - 9 c - 40 = 0$ : $D = 81 + 160 = 241$ , $c_{1, 2} = \frac{9 \pm 241}{2}$ . Нерівність виконується поза коренями.

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ ;
б) $t \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ;
в) $y \in (- \infty; - 1) \cup (10; + \infty)$ ;
г) $x \in (- 3; 2)$ ;
ґ) $a \in [- 4; 7]$ ;
д) $c \in (- \infty; \frac{9 - 241}{2}] \cup [\frac{9 + 241}{2}; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 613 с. 126

Розв'язання нерівностей з розкритими дужками

Умова

а) $x (2 + x) ⩾ 3$ ;
б) $6 (t^{2} + 1) < 13 t$ ;
в) $5 y - (y - 2)^{2} < - 14$ ;
г) $(x - 2) (x + 3) < 0$ ;
ґ) $(a + 2) (a - 5) ⩽ 18$ ;
д) $(2 - c) (3 - c) ⩾ - 2 (c - 23)$ .

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність, потрібно спочатку привести її до стандартного вигляду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $⩽ 0$ ), розклавши всі дужки та зібравши подібні доданки. Потім знайти корені відповідної квадратної рівності та визначити знаки функції між коренями або поза ними.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з пункту г), оскільки там вже немає дужок, які треба розкривати. Для пунктів а), б), в) спочатку розкрий дужки, перенеси всі доданки в одну частину нерівності так, щоб старший коефіцієнт був додатним (або зручним для роботи).

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Розкриваємо дужки: $2 x + x^{2} ⩾ 3$ . Переносимо $3$ вліво: $x^{2} + 2 x - 3 ⩾ 0$ . Знаходимо корені рівності $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ , $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Функція параболою розкривається вгору, тому вона додатна поза коренями.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $6 t^{2} + 6 < 13 t$ . Переносимо все вліво: $6 t^{2} - 13 t + 6 < 0$ . Знаходимо корені рівності $6 t^{2} - 13 t + 6 = 0$ : $D = 169 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 49$ , $t_{1} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{1}{2}$ , $t_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{3}{2}$ . Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $5 y - (y^{2} - 4 y + 4) < - 14 \Rightarrow 5 y - y^{2} + 4 y - 4 < - 14$ . Збираємо подібні: $- y^{2} + 9 y + 10 < 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $y^{2} - 9 y - 10 > 0$ . Корені рівності $y^{2} - 9 y - 10 = 0$ : $D = 81 + 40 = 121$ , $y_{1} = \frac{9 - 11}{2} = - 1$ , $y_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ . Нерівність виконується поза коренями.
Пункт г): Це стандартна нерівність виду $(x - x_{1}) (x - x_{2}) < 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 3$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок знаходимо між коренями.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки: $a^{2} - 3 a - 10 ⩽ 18 \Rightarrow a^{2} - 3 a - 28 ⩽ 0$ . Корені рівності $a^{2} - 3 a - 28 = 0$ : $D = 9 + 112 = 121$ , $a_{1} = \frac{3 - 11}{2} = - 4$ , $a_{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7$ . Нерівність виконується між коренями.
Пункт д): Розкриваємо дужки: $(6 - 5 c - 6 c + c^{2}) ⩾ - 2 c + 46 \Rightarrow c^{2} - 11 c + 6 ⩾ - 2 c + 46$ . Переносимо все вліво: $c^{2} - 9 c - 40 ⩾ 0$ . Корені рівності $c^{2} - 9 c - 40 = 0$ : $D = 81 + 160 = 241$ , $c_{1, 2} = \frac{9 \pm 241}{2}$ . Нерівність виконується поза коренями.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?