Завдання 609, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 609

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом та дробовими коефіцієнтами

а) $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ ;
б) $- 0, 5 x^{2} - x + 4 < 0$ ;
в) $- 3 z^{2} + 5 z + 12 ⩾ 0$ ;
г) $5 x - x^{2} < 0$ ;
ґ) $9 x - 2 x^{2} ⩾ 0$ ;
д) $25 - x^{2} ⩽ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Розкладаємо: $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $0, 5 x^{2} + x - 4 > 0$ . Щоб уникнути дробів, помножимо ще на 2: $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x + 4) (x - 2) > 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $3 z^{2} - 5 z - 12 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 12) = 169$ . Корені: $z_{1} = \frac{5 - 13}{6} = - \frac{4}{3}$ , $z_{2} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{9}{3} = 3$ . Нерівність виконується між коренями.
г) Записуємо як $x (5 - x) < 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
ґ) Записуємо як $x (9 - 2 x) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується між коренями.
д) Розкладаємо на множники: $(5 - x) (5 + x) ⩽ 0$ або $- (x - 5) (x + 5) ⩽ 0$ , що еквівалентно $(x - 5) (x + 5) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Нерівність виконується за межі коренів.

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ;
б) $(- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ ;
в) $[- \frac{4}{3}; 3]$ ;
г) $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ ;
ґ) $[- \frac{9}{2}; 0] \cup [4, 5; + \infty)$ — правильніше: $[0; 4, 5]$ ;
д) $(- \infty; - 5] \cup [5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 609 с. 126

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом та дробовими коефіцієнтами

Умова

а) $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ ;
б) $- 0, 5 x^{2} - x + 4 < 0$ ;
в) $- 3 z^{2} + 5 z + 12 ⩾ 0$ ;
г) $5 x - x^{2} < 0$ ;
ґ) $9 x - 2 x^{2} ⩾ 0$ ;
д) $25 - x^{2} ⩽ 0$ .

Що треба знати

Для нерівностей виду $- a x^{2} + b x + c$ зручно помножити на $- 1$ , змінивши знак нерівності. Дискримінант допомагає знайти корені для розкладання на множники.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Помнож усі нерівності на $- 1$ у пунктах а), б), в) і зміні знаки нерівностей. Для г) та д) спробуй розкласти на множники без множення.

Розв’язання крок за кроком

а) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Розкладаємо: $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $0, 5 x^{2} + x - 4 > 0$ . Щоб уникнути дробів, помножимо ще на 2: $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x + 4) (x - 2) > 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $3 z^{2} - 5 z - 12 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 12) = 169$ . Корені: $z_{1} = \frac{5 - 13}{6} = - \frac{4}{3}$ , $z_{2} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{9}{3} = 3$ . Нерівність виконується між коренями.
г) Записуємо як $x (5 - x) < 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
ґ) Записуємо як $x (9 - 2 x) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується між коренями.
д) Розкладаємо на множники: $(5 - x) (5 + x) ⩽ 0$ або $- (x - 5) (x + 5) ⩽ 0$ , що еквівалентно $(x - 5) (x + 5) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Нерівність виконується за межі коренів.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?