Завдання 608, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 608

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

а) $- 2 x^{2} - 3 x - 1 ⩾ 0$ ;
б) $- x^{2} + 6 x - 8 < 0$ ;
в) $- y^{2} - 4 y + 12 < 0$ ;
г) $3 x - x^{2} ⩾ 0$ ;
ґ) $5 x - 2 x^{2} < 0$ ;
д) $16 - x^{2} ⩾ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 3 x + 1 ⩽ 0$ . Розкладаємо на множники: $(2 x + 1) (x + 1) ⩽ 0$ . Корені рівняння: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x - 2) (x - 4) > 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $y^{2} + 4 y - 12 > 0$ . Розкладаємо: $(y + 6) (y - 2) > 0$ . Корені: $y_{1} = - 6$ , $y_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
г) Записуємо як $x (3 - x) ⩾ 0$ або розкладаємо $- x^{2} + 3 x = - x (x - 3)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки старший коефіцієнт від'ємний, нерівність виконується між коренями.
ґ) Записуємо як $x (5 - 2 x) < 0$ або розкладаємо $- x (5 - 2 x) = - x (5 - 2 x)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
д) Перепишемо як $- (x^{2} - 16) ⩾ 0$ , тобто $(x - 4) (x + 4) ⩽ 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується між коренями.

Відповідь:

а) $[- 1; - 0, 5]$ ;
б) $(- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ;
г) $[0; 3]$ ;
ґ) $(- \infty; 0) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
д) $[- 4; 4]$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 608 с. 126

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

Умова

а) $- 2 x^{2} - 3 x - 1 ⩾ 0$ ;
б) $- x^{2} + 6 x - 8 < 0$ ;
в) $- y^{2} - 4 y + 12 < 0$ ;
г) $3 x - x^{2} ⩾ 0$ ;
ґ) $5 x - 2 x^{2} < 0$ ;
д) $16 - x^{2} ⩾ 0$ .

Що треба знати

При розв'язуванні нерівностей з від'ємним коефіцієнтом при $x^{2}$ ( $- a x^{2} + b x + c$ ) корисно помножити всю нерівність на $- 1$ , щоб перенести знак нерівності (наприклад, $⩾ 0$ стане $⩽ 0$ ), і розв'язувати для позитивного старшого коефіцієнта.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пунктів а), б), в) спочатку помнож нерівність на $- 1$ . Для г) та д) зручніше винести за дужки або розкласти на множники.

Розв’язання крок за кроком

а) Помножимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 3 x + 1 ⩽ 0$ . Розкладаємо на множники: $(2 x + 1) (x + 1) ⩽ 0$ . Корені рівняння: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x - 2) (x - 4) > 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $y^{2} + 4 y - 12 > 0$ . Розкладаємо: $(y + 6) (y - 2) > 0$ . Корені: $y_{1} = - 6$ , $y_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
г) Записуємо як $x (3 - x) ⩾ 0$ або розкладаємо $- x^{2} + 3 x = - x (x - 3)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки старший коефіцієнт від'ємний, нерівність виконується між коренями.
ґ) Записуємо як $x (5 - 2 x) < 0$ або розкладаємо $- x (5 - 2 x) = - x (5 - 2 x)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
д) Перепишемо як $- (x^{2} - 16) ⩾ 0$ , тобто $(x - 4) (x + 4) ⩽ 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується між коренями.

Відповідь:

а) $[- 1; - 0, 5]$ ;
б) $(- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ;
г) $[0; 3]$ ;
ґ) $(- \infty; 0) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
д) $[- 4; 4]$ .

Розбір зрозумілий?