Завдання 607, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 607

Розв'язання квадратних нерівностей з повним тричленом

а) $x^{2} + 10 x + 25 ⩾ 0$ ;
б) $4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ;
в) $x^{2} - 12 x + 36 < 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 ⩽ 0$ ;
ґ) $x^{2} + 2 x + 6 > 0$ ;
д) $x^{2} + x + 7 < 0$ .

Розв’язання

а) Тричлен $x^{2} + 10 x + 25$ розкладається на множники як $(x + 5)^{2}$ . Оскільки будь-яке число в квадраті невід'ємне, то $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ виконується для всіх дійсних $x$ .
б) Вираз $4 x^{2} + 4 x + 1$ є повним квадратом $(2 x + 1)^{2}$ . Він завжди $⩾ 0$ , але в умові потрібно знайти значення, де він строго більше нуля. Це виконується при всіх $x$ , крім кореня рівняння $2 x + 1 = 0$ , тобто $x \neq = - 0, 5$ .
в) Тричлен $x^{2} - 12 x + 36$ дорівнює $(x - 6)^{2}$ . Нерівність $(x - 6)^{2} < 0$ не має розв'язків, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від'ємним.
г) Вираз $9 x^{2} + 6 x + 1$ є повним квадратом $(3 x + 1)^{2}$ . Нерівність $(3 x + 1)^{2} ⩽ 0$ виконується лише в тому випадку, якщо вибір дорівнює нулю. Це стається при $3 x + 1 = 0$ , тобто $x = - \frac{1}{3}$ .
ґ) Дискримінант тричлена $x^{2} + 2 x + 6$ від'ємний ( $D = 4 - 24 = - 20 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому графік параболи розташований повністю над віссю $O x$ . Нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) Дискримінант тричлена $x^{2} + x + 7$ від'ємний ( $D = 1 - 28 = - 27 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому функція завжди додатна. Нерівність $x^{2} + x + 7 < 0$ не має розв'язків.

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ;
б) $(- \infty; - 0, 5) \cup (- 0, 5; + \infty)$ ;
в) $\emptyset$ (не має розв'язків);
г) ${- \frac{1}{3}}$ ;
ґ) $(- \infty; + \infty)$ ;
д) $\emptyset$ (не має розв'язків).

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 607 с. 126

Розв'язання квадратних нерівностей з повним тричленом

Умова

а) $x^{2} + 10 x + 25 ⩾ 0$ ;
б) $4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ;
в) $x^{2} - 12 x + 36 < 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 ⩽ 0$ ;
ґ) $x^{2} + 2 x + 6 > 0$ ;
д) $x^{2} + x + 7 < 0$ .

Що треба знати

Розглядаємо повний квадрат $(x + a)^{2}$ . Якщо дискримінант дорівнює нулю, то тричлен має один корінь. Знаки нерівностей показують, чи може цей вираз приймати від'ємні значення (для повного квадрата це неможливо).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй розкласти кожен тричлен на множники або перевір, чи є він повним квадратом. Згадай властивість повних квадратів $(x + a)^{2} ⩾ 0$ .

Розв’язання крок за кроком

а) Тричлен $x^{2} + 10 x + 25$ розкладається на множники як $(x + 5)^{2}$ . Оскільки будь-яке число в квадраті невід'ємне, то $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ виконується для всіх дійсних $x$ .
б) Вираз $4 x^{2} + 4 x + 1$ є повним квадратом $(2 x + 1)^{2}$ . Він завжди $⩾ 0$ , але в умові потрібно знайти значення, де він строго більше нуля. Це виконується при всіх $x$ , крім кореня рівняння $2 x + 1 = 0$ , тобто $x \neq = - 0, 5$ .
в) Тричлен $x^{2} - 12 x + 36$ дорівнює $(x - 6)^{2}$ . Нерівність $(x - 6)^{2} < 0$ не має розв'язків, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від'ємним.
г) Вираз $9 x^{2} + 6 x + 1$ є повним квадратом $(3 x + 1)^{2}$ . Нерівність $(3 x + 1)^{2} ⩽ 0$ виконується лише в тому випадку, якщо вибір дорівнює нулю. Це стається при $3 x + 1 = 0$ , тобто $x = - \frac{1}{3}$ .
ґ) Дискримінант тричлена $x^{2} + 2 x + 6$ від'ємний ( $D = 4 - 24 = - 20 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому графік параболи розташований повністю над віссю $O x$ . Нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) Дискримінант тричлена $x^{2} + x + 7$ від'ємний ( $D = 1 - 28 = - 27 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому функція завжди додатна. Нерівність $x^{2} + x + 7 < 0$ не має розв'язків.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?