Завдання 606, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 606

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ ; б) $y^{2} - 8 y + 16 < 0$ ; в) $x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ ; г) $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ; ґ) $y^{2} - 4 y + 12 > 0$ ; д) $2 x^{2} - 3 x + 5 < 0$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, але в умові знак «більше нуля», тому розв'язків немає (вираз дорівнює нулю тільки при $x = 3$ ).
б) $y^{2} - 8 y + 16 = (y - 4)^{2}$ . Аналогічно, $(y - 4)^{2} < 0$ неможливо для дійсних чисел, тому розв'язків немає.
в) $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Нерівність $(x + 2)^{2} \leq 0$ виконується тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x = - 2$ .
г) $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ . Нерівність $(x - 1)^{2} \geq 0$ виконується для всіх дійсних $x$ , оскільки квадрат завжди невід'ємний: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
ґ) $y^{2} - 4 y + 12$ . Дискримінант $D = 16 - 48 = - 32 < 0$ , старший коефіцієнт $1 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність виконується для всіх дійсних $y$ : $y \in (- \infty; + \infty)$ .
д) $2 x^{2} - 3 x + 5$ . Дискримінант $D = 9 - 40 = - 31 < 0$ , старший коефіцієнт $2 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність «менше нуля» не має розв'язків.

Відповідь:

а) $\emptyset$ (немає розв'язків); б) $\emptyset$ ; в) $x = - 2$ ; г) $x \in (- \infty; + \infty)$ ; ґ) $y \in (- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 606 с. 126

Розв'язування квадратних нерівностей

Умова

а) $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ ; б) $y^{2} - 8 y + 16 < 0$ ; в) $x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ ; г) $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ; ґ) $y^{2} - 4 y + 12 > 0$ ; д) $2 x^{2} - 3 x + 5 < 0$ .

Що треба знати

Перевіряємо дискримінант. Якщо $Δ = 0$ , то тричлен є повним квадратом і не змінює знак (додатний при додатному старшому коефіцієнті). Якщо $Δ < 0$ і старший коефіцієнт додатний, то тричлен завжди додатний.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй розкласти кожен вираз на множники або знайди дискримінант. Зверни увагу на повні квадрати та нерівності з «менше нуля».

Розв’язання крок за кроком

а) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, але в умові знак «більше нуля», тому розв'язків немає (вираз дорівнює нулю тільки при $x = 3$ ).
б) $y^{2} - 8 y + 16 = (y - 4)^{2}$ . Аналогічно, $(y - 4)^{2} < 0$ неможливо для дійсних чисел, тому розв'язків немає.
в) $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Нерівність $(x + 2)^{2} \leq 0$ виконується тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x = - 2$ .
г) $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ . Нерівність $(x - 1)^{2} \geq 0$ виконується для всіх дійсних $x$ , оскільки квадрат завжди невід'ємний: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
ґ) $y^{2} - 4 y + 12$ . Дискримінант $D = 16 - 48 = - 32 < 0$ , старший коефіцієнт $1 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність виконується для всіх дійсних $y$ : $y \in (- \infty; + \infty)$ .
д) $2 x^{2} - 3 x + 5$ . Дискримінант $D = 9 - 40 = - 31 < 0$ , старший коефіцієнт $2 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність «менше нуля» не має розв'язків.

Відповідь:

а) $\emptyset$ (немає розв'язків); б) $\emptyset$ ; в) $x = - 2$ ; г) $x \in (- \infty; + \infty)$ ; ґ) $y \in (- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?