Завдання 604, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 604

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $y^{2} - 4 y - 5 < 0$ ; б) $x^{2} + 6 x + 8 \leq 0$ ; в) $z^{2} + 6 z - 7 \geq 0$ ; г) $6 x^{2} - x > 0$ ; ґ) $2 x^{2} + 7 x \geq 0$ ; д) $x^{2} - 9 < 0$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $y^{2} - 4 y - 5 = 0$ : $D = 16 + 20 = 36$ , $y_{1, 2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ , отже $y_{1} = - 1, y_{2} = 5$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між коренями: $- 1 < y < 5$ .
б) Корені рівняння $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ : $D = 36 - 32 = 4$ , $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2}$ , отже $x_{1} = - 4, x_{2} = - 2$ . Знак «менше або дорівнює», тому проміжок із замкненими кінцями: $[- 4; - 2]$ .
в) Корені рівняння $z^{2} + 6 z - 7 = 0$ : $D = 36 + 28 = 64$ , $z_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , отже $z_{1} = - 7, z_{2} = 1$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ .
г) Корені рівняння $6 x^{2} - x = 0$ : $x (6 x - 1) = 0$ , отже $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1}{6}$ . Знак «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ .
ґ) Корені рівняння $2 x^{2} + 7 x = 0$ : $x (2 x + 7) = 0$ , отже $x_{1} = - \frac{7}{2}, x_{2} = 0$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $[- \frac{7}{2}; 0] \cup [0; + \infty)$ , що спрощується до $[- \frac{7}{2}; + \infty)$ .
д) Корені рівняння $x^{2} - 9 = 0$ : $x_{1} = - 3, x_{2} = 3$ . Знак «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 3)$ .

Відповідь:

а) $y \in (- 1; 5)$ ; б) $x \in [- 4; - 2]$ ; в) $z \in (- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ ; ґ) $x \in [- 3, 5; + \infty)$ ; д) $x \in (- 3; 3)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 604 с. 126

Розв'язування квадратних нерівностей

Умова

а) $y^{2} - 4 y - 5 < 0$ ; б) $x^{2} + 6 x + 8 \leq 0$ ; в) $z^{2} + 6 z - 7 \geq 0$ ; г) $6 x^{2} - x > 0$ ; ґ) $2 x^{2} + 7 x \geq 0$ ; д) $x^{2} - 9 < 0$ .

Що треба знати

Для розв'язання квадратної нерівності знаходимо корені відповідної рівності, а потім визначаємо знаки виразу на проміжках між коренями. Якщо при старшому доданку коефіцієнт додатний, то вираз додатний поза коренями і від'ємний між ними.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку розв'яжи рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ для кожного пункту, знайди корені, а потім запиши відповідні проміжки, звертаючи увагу на знак нерівності ( $<, >, \leq, \geq$ ).

Розв’язання крок за кроком

а) Корені рівняння $y^{2} - 4 y - 5 = 0$ : $D = 16 + 20 = 36$ , $y_{1, 2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ , отже $y_{1} = - 1, y_{2} = 5$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між коренями: $- 1 < y < 5$ .
б) Корені рівняння $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ : $D = 36 - 32 = 4$ , $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2}$ , отже $x_{1} = - 4, x_{2} = - 2$ . Знак «менше або дорівнює», тому проміжок із замкненими кінцями: $[- 4; - 2]$ .
в) Корені рівняння $z^{2} + 6 z - 7 = 0$ : $D = 36 + 28 = 64$ , $z_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , отже $z_{1} = - 7, z_{2} = 1$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ .
г) Корені рівняння $6 x^{2} - x = 0$ : $x (6 x - 1) = 0$ , отже $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1}{6}$ . Знак «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ .
ґ) Корені рівняння $2 x^{2} + 7 x = 0$ : $x (2 x + 7) = 0$ , отже $x_{1} = - \frac{7}{2}, x_{2} = 0$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $[- \frac{7}{2}; 0] \cup [0; + \infty)$ , що спрощується до $[- \frac{7}{2}; + \infty)$ .
д) Корені рівняння $x^{2} - 9 = 0$ : $x_{1} = - 3, x_{2} = 3$ . Знак «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 3)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?